2022高中数学人教A版必修2 3.2.1直线的点斜式方程 教案

必修二3.2.1直线的点斜式方程教材分析本节内容是人教版必修二第三章第二节直线的方程第一课时。在学习了《直线的倾斜角和斜率》之后。学习直线方程的第一课时《直线的点斜方程》，知识储备充足，过渡自然合理，解析几何的思想开始渗透，因此既是对上一节思想的拓展延伸，也是下一节内容的基础，更是对数形结合这一重要思想的进一步认识与理解。本节课使学生开始具有解析几何的意识，为学生今后用代数方法研究几何问题的思想提供了必要的基础。教学目标1.使学生进一步理解直线与直线方程的关系，初步渗透解析几何的思想2.理解直线的点斜式方程的形式特点和适用范围3.能正确利用直线点斜式公式求直线的方程教学重点直线的点斜式方程推导及应用教学难点直线的点斜式方程的应用学情分析本班学生数学基础比较差，在解题能力特别是抽象思维的能力比较欠缺。在此之前学生已学习了直线的倾斜角及斜率的概念，明确通过斜率分析直线应首先考虑直线斜率是否存在在α≠90°的情况下，具备计算斜率的公式，初步形成用代数方法研究几何问题的思想，为本节的学习奠定了基础。教学方法本节课是前面学习的直线的斜率的延伸，也是以后解析几何思想的基础，由此安排教学时，注意渗透类比、数形结合的思想，采用启发式的讲授法进行教学。教学过程设计一.引入通过上节课学习的直线由一点和倾斜角唯一确定，提出直线上任意一点坐标 关系的新问题，引出本堂课的内容。师：同学们，上节课我们学习了斜率的概念和由直线上两点计算斜率的方法，分析了在直角坐标系内，一点和直线的什么唯一确定一条直线？生：倾斜角。师：那么，如果在直角坐标系中，对一直线，直线经过已知点，斜率为k。我们怎样用直线上的已知点，斜率k表示出该直线上所有点的坐标满足的关系式，并且论证这个关系式就是直线的方程？这就是我们这节课所要学习的内容——直线的点斜式方程。二.新知探究通过解析引入中的问题，得出直线方程的概念，以及直线的点斜式方程公式及其形式特点、适用范围。师：针对刚提出的问题，我们即要论证两个方面，一是直线上点的坐标都满足这个关系式，二是坐标满足这个关系式的点都在直线上。如图，直线经过，斜率为k。我们设为直线上的任意一点，当P与重合时，这个关系式为。当P与不重合时，我们设为直线上不同于的任意一点。那么这条直线的斜率可表示成什么？生：.师：很好。即①。那么当P和重合时，P点坐标是否满足方程①？ 生：满足。师：通过以上推导，我们发现过点，斜率为k的直线上的每一个点的坐标都满足方程①，即直线上点的坐标均满足方程。那么，坐标满足方程①的点是不是都在直线上呢？请同学们分组讨论一下。生：是。师：为什么？生：任意一个点，若它的坐标满足方程①，可以验证直线的斜率为k。师：很好。我们设点的坐标满足方程①，则有②。但直线一定有斜率吗？生：不一定。师：所以，我们来看：当无斜率，即时，带入②中，有，说明这两个点怎样？生：重合师：既然重合，那么就在直线上。当有斜率，即，而由斜率公式直线的斜率可表示为。由②式我们可以得到直线的斜率为。而过点，斜率为k的直线有几条？生：一条。师：那么在不在过点过点，斜率为k的直线上？生：在师：即坐标满足方程①的点都在过，斜率为k直线上。由上面的分析，我们可以得到过点，斜率为k的直线上的每一个点的坐标都满足方程①；坐标满足方程①的点都在过，斜率为k直线上。说明方程① 就恰为我们开始提出的过点，斜率为k的直线上的每一个点的坐标所满足的关系式对不对？生：对。师：以后，对于这样的关系式，我们称之为直线的方程。即对于一条直线与一个方程，若该直线上的每一个点的坐标都满足该方程，且坐标满足该方程的点都在直线上，则称该方程为直线的方程。比如在这里，（1）（2）成立，说明方程①就是直线的方程。那么方程①是由哪两个几何因素确定的？生：直线上一点和斜率师：于是我们称方程①为直线的点斜式方程，简称点斜式。即在直角坐标平面上，过点，斜率为k的直线点斜式方程为：。请同学们思考是不是所有的直线的方程都可以用点斜式来表示呢？生：不是。师：为什么？生：因为不是所有的直线都有斜率。师：很好，直线的点斜式方程公式只有在直线斜率存在时才能使用。那么，当直线无斜率时，直线的方程是什么呢？请同学们观察此时直线上每个点的横坐标有什么关系？生：相等。师：所以过点的直线若无斜率，是一条与y轴平行或重合的直线，则直线上每个点的横坐标均为，其方程即为。（作图）。这是一条过点且与y轴平行或重合的直线，类似的，过点且 与x轴平行或重合的直线方程是什么？生：此时，直线的斜率为0，方程为。师：没错，此时直线上每个点的纵坐标相同，所以直线的方程为。（作图）。下面来看看它们的应用。三．例题讲解例已知直线过点，倾斜角为α（1）时，求直线的点斜式方程（2）为和时，直线的方程是什么？师：倾斜角为45度时，直线的斜率是多少？生：1师：带入点斜式方程公式，便有点斜式方程：。类似的，请同学们完成（2）中倾斜角为0度时的方程生：为时，直线的方程为师：很好。那么为时，直线的斜率存在吗？生：不存在。师：所以此时直线的方程是什么？生：师：从例题得到，以后求直线的点斜式方程时要注意直线的斜率是否存在，存在时才可带入我们的点斜式方程公式进行求解。四．总结1.掌握直线的点斜式方程公式特征及其适用范围；2.能运用直线的点斜式方程解决有关问题； 1.理解直线与直线的方程，体会数形结合的思想。五．思考直线过点，斜率为k，求该直线的方程六．作业习题3.2A组第5题七．板书设计