2.2.2.1直线的点斜式方程和两点式方程示范教案教学分析 教材利用斜率公式推导出了直线的点斜式方程,利用直线的点斜式方程推导出了直线的斜截式方程,让学生讨论得出直线的两点式方程,在练习B中给出了直线的截距式方程.值得注意的是本节所讨论直线方程的四种形式中,点斜式方程是基础是一个“母方程”,其他方程都可以看成是点斜式方程的“子方程”.因此在教学中要突出点斜式方程的教学,其他三种方程形式可以让学生自己完成推导.三维目标 1.掌握直线的点斜式方程和斜截式方程;了解直线的斜截式方程是点斜式方程的特例,培养普遍联系的辩证思维能力.2.理解直线的两点式方程和截距式方程,并能探讨直线方程不同形式的适用范围,提高学生思维的严密性.3.会求直线方程,提高学生分析问题和解决问题的能力.重点难点 教学重点:直线方程的四种形式及应用.教学难点:求直线方程.课时安排 1课时导入新课 设计1.我们知道两点确定一条直线,除此之外,在平面直角坐标系中,一个定点和斜率也能确定一条直线,那么怎样求由一点和斜率确定的直线方程呢?教师引出课题.设计2.上一节我们已经学习了直线方程的概念,其中直线y=kx+b就是我们本节所要进一步学习的内容,教师引出课题.推进新课 (1)如左下图所示,已知直线l过P0(x0,y0),且斜率为k,求直线l的方程. (2)已知直线l过点P(0,b),且斜率为k(如右上图),求直线l的方程.(3)已知两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,求直线AB的方程.(4)已知直线l在x轴上的截距是a,在y轴上的截距是b,且a≠0,b≠0.求证直线l的方程可写为+=1.(这种形式的直线方程,叫做直线的截距式方程)讨论结果:9
(1)设点P(x,y)为直线l上不同于P0(x0,y0)的任意一点,则直线l的斜率k可由P和P0两点的坐标表示为k=.即y-y0=k(x-x0).①方程①就是点P(x,y)在直线l上的条件.在l上的点的坐标都满足这个方程,坐标满足方程①的点也一定在直线l上.方程①是由直线上一点P0(x0,y0)和斜率k所确定的直线方程,我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.特别地,当k=0时,直线方程变为y=y0.这时,直线平行于x轴或与x轴重合.(2)直线l的点斜式方程为y-b=k(x-0).整理,得y=kx+b.这个方程叫做直线的斜截式方程.其中k为斜率,b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,简称为直线的截距.这种形式的方程,当k不等于0时,就是我们熟知的一次函数的解析式.(3)设P(x,y)是直线AB上任一点,则kAB=,所以直线AB的点斜式方程为y-y1=(x-x1),整理得=(x1≠x2,y1≠y2),这种形式的方程叫做直线的两点式方程.(4)直线l过点(a,0),(0,b),则直线l的两点式方程为=,整理得+=1.这种形式的直线方程,叫做直线的截距式方程.思路1例1求下列直线的方程:(1)直线l1:过点(2,1),k=-1;(2)直线l2:过点(-2,1)和点(3,-3).解:(1)直线l1过点(2,1),斜率k=-1.由直线的点斜式方程,得y-1=-1(x-2),整理,得l1的方程为x+y-3=0.(2)我们先求出直线的斜率,再由点斜式写出直线方程.直线l2的斜率k==-,又因为过点(-2,1),由直线的点斜式方程,得y-1=-[x-(-2)],整理,得l2的方程4x+5y+3=0.另解:直线l2的两点式方程为=,整理,得4x+5y+3=0.点评:为了统一答案的形式,如没有特别要求,直线方程都化为ax+by+c=0的形式.变式训练分别求出通过点P(3,4)且满足下列条件的直线方程,并画出图形:(1)斜率k=2;(2)与x轴平行;(3)与x轴垂直.解:(1)这条直线经过点P(3,4),斜率k=2,点斜式方程为y-4=2(x-3),可化为2x-y-2=0.如图(1)所示.(2)由于直线经过点P(3,4)且与x轴平行,即斜率k=0,所以直线方程为y=4.如图(2)所示.(3)由于直线经过点P(3,4)且与x轴垂直,所以直线方程为x=3.9
如图(3)所示.图(1) 图(2) 图(3)例2已知三角形三个顶点分别是A(-3,0),B(2,-2),C(0,1),求这个三角形三边各自所在直线的方程.解:如下图,因为直线AB过A(-3,0),B(2,-2)两点,由两点式,得=,整理,得2x+5y+6=0,这就是直线AB的方程;直线AC过A(-3,0),C(0,1)两点,由两点式,得=,整理,得x-3y+3=0,这就是直线AC的方程;直线BC的斜率是k==-,过点C(0,1),由点斜式,得y-1=-(x-0),整理得3x+2y-2=0,9
这就是直线BC的方程.例3求过点(0,1),斜率为-的直线的方程.解:直线过点(0,1),表明直线在y轴上的截距为1,又直线斜率为-,由直线的斜截式方程,得y=-x+1.即x+2y-2=0.变式训练1.直线l:y=4x-2在y轴上的截距是______,斜率k=______.答案:-2 42.已知直线l:y=kx+b经过第二、三、四象限,试判断k和b的符号.解:如下图所示因为直线l与x轴的正方向的夹角是钝角,与y轴交点位于y轴的负半轴上,所以k4或r