3.2.1直线的点斜式方程疱丁巧解牛知识·巧学一、直线的点斜式方程1.已知直线过点P0(x0，y0)，斜率为k，则其方程为y-y0=k(x-x0).2.注意公式的应用前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.3.当直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°，斜率k=0，仍可用上述公式.此时可简写为y-y0=0或y=y0.特别地，x轴的方程是y=0.当直线与y轴平行或重合时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，不能应用点斜式方程.此时根据直线上每个点的横坐标都相等，可将方程写成x-x0=0或x=x0.特别地，y轴的方程是x=0.点斜式方程中的点只要是直线上的点，哪一个都可以.辨析比较过点P(x0,y0)的所有直线是x=x0或y-y0=k(x-x0).与y-y0=k(x-x0)的区别:前者不包含点P(x0,y0),后者包含点P(x0,y0).二、直线的斜截式方程1.已知直线过点P0(0，b)，斜率为k，则其方程为y=kx+b，其中b叫做直线在y轴上的截距，也叫纵截距.2.“截距”不同于日常生活中的“距离”，截距是一个点的(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零；而距离是一个非负数.3.斜截式方程的应用前提也是直线的斜率存在，并且给出的已知点是直线与y轴的交点.当b=0时，y=kx表示过原点的直线；当k=0时，y=b表示与x轴平行(或重合)的直线；当k=0且b=0时，y=0即表示x轴.辨析比较斜截式方程与一次函数的解析式相同,都是y=kx+b,但有区别:当斜率不为0时,y=kx+b即为一次函数,当k=0时,y=b不是一次函数;一次函数y=kx+b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程.问题·探究问题1若直线ｌ经过点P0(x0,y0)，且与x轴垂直，其直线方程怎样表示？若直线ｌ经过点P0(x0,y0)，且与y轴垂直，其直线方程怎样表示？探究:与x轴垂直的直线上的所有点的横坐标都相等且等于x0，纵坐标任意，方程可表示为x=x0；与y轴垂直的直线上的所有点的纵坐标都为y0,而横坐标任意，所以方程可表示为y=y0.问题2是否任何直线都存在y轴上的截距？探究:不是任何直线都存在y轴上的截距，平行于y轴的直线与y轴没有交点，所以不存在纵截距，其他的直线都有y轴上的截距，即纵截距.问题3直线的斜截式方程的截距指纵截距，是否也可以导出横截距的直线方程？探究:直线的斜截式方程是由点斜式自然推出y=kx+b.若k≠0，可化为x=(y-b)=,这时对k的要求更多，而当k不存在时，也存在在x轴上有截距的直线；k=0时，这样的直线与x轴或者平行或者重合，此时在x轴上的截距不存在.典题·热题例1分别求出经过点P(3，4)且满足下列条件的直线方程，并画出图形.(1)斜率k=2;
(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直.思路解析：经过一个点求直线的方程，若所求直线与x轴或y轴垂直，则可直接写出所求直线的方程，其他情形可直接用公式求出.过一点求直线的方程，若斜率不存在或斜率为零时，可直接写出直线的方程，将此作为一种特殊情况熟练掌握.解：(1)这条直线经过点P(3，4)，斜率k=2，点斜式方程为y-4=2(x-3)，可化为2x-y-2=0.如图3-2-1(1)所示.(2)由于直线经过点P(3，4)且与x轴平行，所以直线方程为y=4.如图3-2-1(2)所示.(3)由于直线经过点P(3，4)且与x轴垂直，所以直线方程为x=3.如图3-2-1(3)所示.图3-2-1深化升华本题是对直线的点斜式方程公式的直接应用，在倾斜角不为90°，即斜率存在时，直接代入直线的点斜式方程即可.若直线倾斜角为90°时方程可直接写出.例2已知直线l1:(m2-m-2)x+2y+m-2=0,l2:2x+(m-2)y+2=0，求ｍ取何值时,l1∥l2？l1⊥l2？思路解析：可以通过两直线斜率的关系来判断，但要注意直线斜率不存在的情况.解：当ｍ=2时，直线l2的斜率不存在，可验证l1的斜率为0，此时两直线垂直.当m≠2时，可把直线方程化为斜截式求出直线斜率和在y轴上的截距，k1=,k2=.所以当k1=k2时解得ｍ=3或ｍ=0.但ｍ=0时可得两直线方程相同，即直线重合.所以当ｍ=3时l1∥l2.当k1k2=-1时两直线垂直，解得ｍ=-2.综上可知，当ｍ=3时l1∥l2;当ｍ=±2时两直线垂直.拓展延伸在前面我们已研究了两直线的平行与判定，如果给出两条直线的斜截式方程l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，来判断两直线位置关系,则l1∥l2k1=k2且b1≠b2，l1⊥l2k2k1=-1.当一直线的斜率不存在时，若两直线平行，则另一直线的斜率也不存在；若两直线垂直，则另一直线的斜率等于0.如果给出的方程不是斜截式，可先化为斜截式，在化时要注意等价性(不要丢解).利用此性质，也可求与已知直线平行或垂直的直线.变式：直线2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置关系是()A.平行B.垂直C.平行或重合D.既不平行也不重合解析：把两直线的方程化为斜截式为y=2x+k和y=，其斜率相等.当k=时，两直线重合，当k≠时，两直线平行.答案：C例3直线经过点A(2,1)，B(0，-3)，求此直线的斜截式方程.若将A(2,1)换成A(2+a2,1+a2)，要使kAB最大，其直线方程又怎样？思路解析：已知两点，可先求出斜率，再写出斜截式方程.要使kAB最大，需对参数进行取值研究.
解：先求出此直线的斜率kAB=，再由斜截式写出方程y=2x-3.当A(2,1)变成A(2+a2,1+a2)时，kAB=，当a2=0时，kAB取最大值2.此时直线的方程仍为y=2x-3.误区警示由于斜截式方程和点斜式方程都是用斜率k表示的，故这两类直线方程不能用来表示垂直于x轴的直线，这在解题中应注意，否则会产生漏解.
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