高中数学人教A版必修2 第三章直线与方程3.2.1直线的点斜式方程 课件

3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程 课标要求:1.了解直线的点斜式方程的推导过程.2.掌握直线的点斜式方程并会应用.3.掌握直线的斜截式方程,了解截距的概念. 自主学习知识探究1.直线的点斜式方程的定义已知直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,则直线l的方程为.这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的,因此称为直线的点斜式方程,简称点斜式.注意:点斜式方程的应用前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则直线的方程不能用点斜式表示.y-y0=k(x-x0) 2.点斜式方程的特殊情形(1)当直线l的倾斜角为0°时(如图1),tan0°=0,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,l的方程就是.y-y0=0或y=y0 (2)当直线l的倾斜角为90°时(如图2),直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或垂直,它的方程不能用点斜式表示.因为这时l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是.x-x0=0或x=x0 注意:(1)=k与y-y0=k(x-x0)是不同的,前者表示的直线上缺少一个点P0(x0,y0),后者才表示整条直线.(2)经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类:①斜率存在的直线,方程为y-y0=k(x-x0);②斜率不存在的直线,方程为x=x0.3.直线的斜截式方程我们把直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.如果直线l的斜率为k,且在y轴上的截距为b,则方程为y-b=k(x-0),即,叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.当b=0时,y=kx表示过原点的直线;当k=0且b≠0时,y=b表示与x轴平行的直线;当k=0且b=0时,y=0表示与x轴重合的直线.y=kx+b 注意:(1)直线的斜截式方程其实是点斜式方程在x0=0时的特殊情况,斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在.(2)斜截式方程与一次函数的解析式相同,都是y=kx+b的形式,但有区别:当k≠0时,y=kx+b为一次函数;当k=0时,y=b,不是一次函数,故一次函数y=kx+b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程.(3)纵截距不是距离,它是直线与y轴交点的纵坐标,所以可取一切实数,即可为正数、零或负数.当直线l与y轴正半轴相交时,截距b>0,但并非所有的直线都与y轴有交点,当直线l与y轴平行时,l在y轴上没有截距. (4)由于有些直线没有斜率,即有些直线在y轴上没有截距,所以并非所有直线都可以用斜截式表示.当直线与x轴垂直时,直线不能用斜截式表示,这时其方程可以表示为x=x1(x1为直线与x轴交点的横坐标).(5)方程y=kx+b中,y的系数是1,x的系数是k,常数项是b.k,b有明显的几何意义,其中k是直线的斜率,b是直线与y轴交点的纵坐标,即在y轴上的截距. 自我检测(教师备用)1.过点P(2,-1),斜率为的直线的点斜式方程为()CC 3.已知直线的方程是y+2=-x-1,则()(A)直线经过点(-1,2),斜率为-1(B)直线经过点(2,-1),斜率为-1(C)直线经过点(-1,-2),斜率为-1(D)直线经过点(-2,-1),斜率为1C解析:直线方程可化为y-(-2)=-[x-(-1)],故直线经过点(-1,-2),斜率为-1.故选C. 4.在y轴上的截距为2,且与直线y=-3x-4平行的直线的斜截式方程为.答案:y=-3x+25.若直线l过点(0,7),且与直线y=-4x+2垂直,则直线l的方程为. 题型一直线的点斜式方程课堂探究 【1-2】已知在第一象限的△ABC中,A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求:(1)AB所在直线的方程;解析:(1)如图所示,直线AB过点(1,1)且与x轴平行,故AB所在直线方程是y=1. (2)AC边与BC边所在直线的方程. 误区警示已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标,均可用直线方程的点斜式表示,直线方程的点斜式,应在直线斜率存在的条件下使用.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=x0. 即时训练1-1:已知三角形的顶点坐标是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的方程. 题型二直线的斜截式方程【例2】写出下列直线的斜截式方程:①直线的倾斜角是60°,在y轴上的截距是5;②直线在x轴上的截距为4,在y轴上的截距为-2. 【2-2】已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.解:由题知,直线l与l1平行,所以直线l的斜率为-2,直线l与l2在y轴上的截距相同,故在y轴上的截距是-2,由斜截式方程知l的方程为y=-2x-2. 变式探究:若将本例中“直线l与l1平行”改为“直线l与l1垂直”,其他条件不变,又如何求解? 方法技巧直线的斜截式方程的求解策略(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距,代入方程即可.(2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直线的斜截式方程. 即时训练2-1:根据条件写出下列直线的斜截式方程:(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;(2)倾斜角为30°,在y轴上的截距是-2;解:(1)由直线方程的斜截式可知,所求直线方程为y=2x+5. (3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 题型三平行与垂直的应用【例3】(1)当a为何值时,直线l1:y=-2x+2a与直线l2:y=(a2-3a)x+2平行,垂直; (2)若点A(1,2)在直线l上的射影为B(-1,4),求直线l的方程. 方法技巧设直线l1和l2的斜率k1,k2都存在,其方程分别为l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,那么①l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2;②k1=k2且b1=b2⇔两条直线重合;③l1⊥l2⇔k1·k2=-1. 即时训练3-1:△ABC中,A(1,-1),B(4,a),C(3,3).若△ABC是以B为直角的直角三角形.(1)求a; (2)求直线AB的方程.