3．2.1 直线的点斜式方程学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．知识点一 直线的点斜式方程思考1 如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？答案 由斜率公式得k＝，则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)．思考2 经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.点斜式已知条件点P(x0，y0)和斜率k图示方程形式y－y0＝k(x－x0)适用条件斜率存在知识点二 直线的斜截式方程思考1 已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？答案 将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b.思考2 方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？答案 y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零．思考3 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.①l1∥l2⇔________________，②l1⊥l2⇔________________.
答案 ①k1＝k2且b1≠b2 ②k1k2＝－1斜截式已知条件斜率k和直线y轴上的截距b图示方程式y＝kx＋b适用条件斜率存在类型一 直线的点斜式方程例1 (1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________．(2)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程是________．(3)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________．答案 (1)x＝－3(2)y－3＝－(x－1)(3)y＋2＝(x＋1)解析 (1)∵直线与y轴平行，∴该直线斜率不存在，∴直线方程为x＝－3.(2)由题意知，直线l与直线y＝2x＋1垂直，则直线l的斜率为－.由点斜式方程可得l的方程为y－3＝－(x－1)．(3)∵直线l2的方程为y＝x，设其倾斜角为α，则tanα＝得α＝30°，那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°，则l1的点斜式方程为
y＋2＝tan60°(x＋1)，即y＋2＝(x＋1)．跟踪训练1 写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．解 (1)y－5＝4(x－2)；(2)∵直线的斜率k＝tan45°＝1，∴直线方程为y－3＝x－2；(3)y＝－1.类型二 直线的斜截式方程例2 (1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_________________．答案 y＝x＋3或y＝x－3解析 ∵直线的倾斜角是60°，∴其斜率k＝tan60°＝，∵直线与y轴的交点到原点的距离是3，∴直线在y轴上的截距是3或－3，∴所求直线方程是y＝x＋3或y＝x－3.(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．解 由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1.由题意知l2在y轴上的截距为－2，所以l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.反思与感悟 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．跟踪训练2 (1)已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程；(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．解 (1)设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.由已知可得·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.
故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1.(2)∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，∴l的斜率为，∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y＝4x－2，∴l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2.类型三 平行与垂直的应用例3 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？解 (1)由题意可知，∵l1∥l2，∴解得a＝－1.故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．(2)由题意可知，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．反思与感悟 设直线l1和l2的斜率k1，k2都存在，其方程分别为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，那么：(1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；(2)k1＝k2，且b1＝b2⇔两条直线重合；(3)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.跟踪训练3 已知在△ABC中，A(0,0)，B(3,1)，C(1,3)．(1)求AB边上的高所在直线的方程；(2)求BC边上的高所在直线的方程；(3)求过A与BC平行的直线方程．解 (1)直线AB的斜率k1＝＝，AB边上的高所在直线斜率为－3且过点C，所以AB边上的高所在直线的方程为y－3＝－3(x－1)．(2)直线BC的斜率k2＝＝－1，BC边上的高所在直线的斜率为1且过点A，所以BC边上的高所在直线的方程为y＝x.(3)由(2)知，过点A与BC平行的直线的斜率为－1，其方程为y＝－x.
1．方程y＝k(x－2)表示( )A．通过点(－2,0)的所有直线B．通过点(2,0)的所有直线C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线答案 C解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．2．倾斜角是30°，且过(2,1)点的直线方程是____________．答案 y－1＝(x－2)解析 ∵斜率为tan30°＝，∴直线的方程为y－1＝(x－2)．3．(1)已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________；(2)若直线l1∶y＝－x－与直线l2∶y＝3x－1互相平行，则a＝________.答案 (1)－1 (2)－解析 (1)由题意可知a(a＋2)＝－1，解得a＝－1.(2)由题意可知解得a＝－.4．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．解 (1)∵与直线y＝2x＋7平行，∴该直线斜率为2，由点斜式方程可得y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1∴所求直线的方程为y＝2x－1.(2)∵所求直线与直线y＝3x－5垂直，∴该直线的斜率为－，由点斜式方程得：
y＋2＝－(x＋2)，即y＝－x－.故所求的直线方程为y＝－x－.1．求直线的点斜式方程的方法步骤2．直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．3．判断两条直线位置关系的方法直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，则两直线相交．(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合．(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程的点斜式为( )A．y－2＝－(x＋4)
B．y－(－2)＝－(x－4)C．y－(－2)＝(x－4)D．y－2＝(x＋4)答案 B解析 由题意知k＝tan150°＝－，所以直线的点斜式方程为y－(－2)＝－(x－4)．2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1答案 C解析 ∵方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.3．已知直线l1：y＝x＋a，l2：y＝(a2－3)x＋1，若l1∥l2，则a的值为( )A．4B．2C．－2D．±2答案 C解析 因为l1∥l2，所以a2－3＝1，a2＝4，所以a＝±2，又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，则a≠1，即a≠2，故a＝－2.4．下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )答案 C解析 ①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，A，B，C，D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，A，B，C，D都不成立；③当a0B．k>0，b
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