高二数学直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一

2019-2020年高二数学直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一一、教学目标（一）知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线.（二）能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力.（三）学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识.二、教材分析1.重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上.2.难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上.3.疑点：k二七三不能算直缓1的方程，因为直线1上的点力戈一%的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k（x-x1）后，点P1的坐标满足方程.三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合.四、教学过程（一）点斜式已知直线l的斜率是k,并且经过点P1（x1,y1）,直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程（图1-24）? 设点P（x,y）是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得猊f（1）可化为।注意方程（1）与方程（2）的差异：点P1的坐标不满足方程（1）而满足方程（2）,因此，点P1不在方程（1）表示的图形上而在方程（2）表示的图形上，方程（1）不能称彳^直线l的方程.重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程.这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式.当直线的斜率为0°时（图1-25）,k=0,直线的方程是y=y1.耳0x图1-Z5当直线的斜率为90。时（图1-26）,直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.0次 图1-2匕(二)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b,斜率为b,求直线的方程.这个问题，相当于给出了直线上一点(0,b)及直线的斜率k,求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程.为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的.当kw0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距.(三)两点式已知直线l上的两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1wx2),直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程.J直线的方程为y-力・卫-X1当ylwy2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式.对两点式方程要注意下面两点：（1）方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行（x1=x2或y1=y2）时，可直接写出方程；（2）要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样.（四）截距式 例1已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（aw0,bw0）,求直线l的方程.此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成.解：因为直线l过A（a,0）和B（0,b）两点，将这两点的坐标代入两点式，得y-0_x-ab0a就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式.引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式.对截距式方程要注意下面三点：（1）如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；（2）将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；（3）与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示.（五）例题例2三角形的顶点是A（-5,0）、B（3,-3）、C（0,2）（图1-27）,求这个三角形三边所在直线的方程. 本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫.解：直线AB的方程可由两点式得:y—0丫='即3x+8y+15=0-3-03-这就是直线AB的方程.为简化计算，我们选用下面途径:BC的方程本来也可以用两点式得到,=-3①-扑去由斜截式得：,=一:又十2・即5x+3y-6=0.这就是直线BC的方程.由截距式方程得AC的方程是三十上=1,即2x+5y+10=0.-52这就是直线AC的方程.(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别.(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用.(3)要注意四种形式方程的不适用范围.五、布置作业1.(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形: ⑴经过点A(2,5),斜率是4;⑵经过点B⑶-l)f斜率是正；⑶经过点C(-a,2).倾斜帚是30。1(4)经过点D(0,3),倾斜角是0°;⑸经过点E(4,-2),倾斜角是120°.解：⑴y-5=4(工-2)；(2®+1=虎侬-加-2](工4何(物=3.(58+2=-加-%,(图略)1.(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：⑴y-2=x-1(2)y-3=a/3(x-4)t(3)y+3二-(国-1)(4)y+2=i[值+1).解：⑴(1,2),k=1,a=45。；⑵0,3)，k=®□=而；⑶(1,-3),k=-1,a=135°;⑷LL-2),k=—,a=150”. 3.(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程:⑴斜率是工L式由上的截距是(2)倾斜角是135°,y轴上的截距是3.解：(1)7=—y=-^+3.4.(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图.(1)P1(2,1)、P2(0,-3);(2)A(0,5)、B(5,0)；(3)C(-4,-3)、D(-2,-1).解：l-2=i33555衷4y=1.y-5-3+10-2国十2-4+2(图略)六、板书设计51.7亘线的点斜式、斜截式、两点式和赚式方程1.点斜式2.耨或式3.两点式4.蠹距或例邀