3．2.1 直线的点斜式方程点斜式、斜截式 [提出问题]如图，过点A(1,1)作直线l.问题1：试想直线l确定吗？提示：不确定．因为过一点可画无数条直线．问题2：若直线l的倾斜角为45°，直线确定吗？提示：确定．问题3：若直线l的斜率为2，直线确定吗？提示：确定．[导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
(2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．(3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零.直线的点斜式方程[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________________．(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________________．(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________________．[答案] (1)x＝－5 (2)y－4＝－(x－3) (3)2x－y＝0[类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.[活学活用]若直线l过点(2,1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x轴；(3)平行于y轴；(4)过原点．解：(1)直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以由点斜式方程得y－1＝－1×(x－2)，即方程为x＋y－3＝0.(2)平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1.(3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x＝2.(4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k＝，故所求的直线方程为y＝x.直线的斜截式方程[例2] (1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________________．
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．[解] (1)y＝－x－3(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，∴l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.[类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用] 写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.解：(1)y＝3x－3.(2)∵k＝tan60°＝，∴y＝x＋5.(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)，∴k＝＝，∴y＝x－2.两直线平行与垂直的应用[例3] 当a为何值时，(1)两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？(2)两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？[解] (1)设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1＝a，k2＝a＋2.∵两直线互相垂直，∴k1k2＝a(a＋2)＝－1，解得a＝－1.故当a＝－1时，两条直线互相垂直．(2)设两直线的斜率分别为k3，k4，则k3＝－1，k4＝a2－2.∵两条直线互相平行，∴解得a＝－1.故当a＝－1时，两条直线互相平行．
[类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，则两直线相交．(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合．(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．[活学活用]1．若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________.答案：2．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为________．答案：3 [典例] 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)·x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．[解] 由题设l2的方程可化为y＝－x－m，则其斜率k2＝－，在y轴上的截距b2＝－m.∵l1∥l2，∴l1的斜率一定存在，即m≠0.∴l1的方程为y＝－x－.由l1∥l2，得解得m＝－1.∴m的值为－1.
[易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合．[成功破障]当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋2a与直线l2：y＝(a2－3)x＋2平行？解：∵l1∥l2，∴a2－3＝－2a且2a≠2，解得a＝－3.[随堂即时演练]1．直线的点斜式方程y－y1＝k(x－x1)( )A．可以表示任何一条直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与坐标轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线答案：D2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( )A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3D．y－2＝x＋3答案：A3．直线y＝3x－2在y轴上的截距为________．答案：－24．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________________．答案：y＝－3x＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．解：(1)2x－y－1＝0 (2)x＋3y＋8＝0[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1答案：C2．直线y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一直角坐标系中的图形可能是( )答案：D3．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4C．y＝－2x＋4D．y＝－x＋4答案：D4．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )A．2x＋y－1＝0B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0D．x－2y＋7＝0答案：A5．直线y＝2x＋3与y－2＝2(x＋3)的位置关系是( )A．平行B．垂直C．重合D．无法判断答案：A二、填空题6．过点(－3,2)且与直线y－1＝(x＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．答案：y－2＝(x＋3)7．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点____________．答案：(3,2)
8．已知斜率为2的直线的方程为5ax－5y－a＋3＝0，此直线在y轴上的截距为________．答案：三、解答题9．已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．解：直线AB的斜率kAB＝＝－，过点A(－5,0)，由点斜式得直线AB的方程为y＝－(x＋5)，即3x＋8y＋15＝0；同理，kBC＝＝－，kAC＝＝，直线BC，AC的方程分别为5x＋3y－6＝0,2x－5y＋10＝0.10．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程．解：由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋b，l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，所以－b－b＝1，b＝－，直线l的方程为y＝x－，即15x－10y－6＝0.
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