3.2.1 直线的点斜式方程目标定位 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义.3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.自主预习1.直线的点斜式方程名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点P(x0，y0)和斜率ky－y0＝k(x－x0)斜率存在的直线2.直线l在坐标轴上的截距(1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b.(2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a.3.直线的斜截式方程名称已知条件示意图方程使用范围斜截式斜率k和在y轴上的截距by＝kx＋b斜率存在的直线即时自测1.判断题(1)经过点P(x0，y0)的直线，都可以用y－y0＝k(x－x0)来表示.(×)(2)经过A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.(×)(3)直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示不与x轴垂直的直线.(√)(4)直线l在y轴上的截距b一定是正数.(×)提示 (1)经过点P(x0，y0)垂直于x轴的直线方程为x＝x0.(2)当直线与x轴垂直时，直线不能用斜截式表示，其方程可表示为x＝0.(4)直线l在y轴上的截距b实际上是直线l与y轴交点的纵坐标，因此b可以是正数，也可以是负数，还可以是0.2.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )A.直线经过点(－1，2)，斜率为－1B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1
解析 方程可变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.答案 C3.直线经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则它的点斜式方程为( )A.y＝x＋1B.y＋3＝x－2C.y＝x－1D.y－3＝x＋2解析 直线的倾斜角为45°，则它的斜率k＝tan45°＝1，所以由点斜式方程，得y－(－3)＝1×(x－2)，即y＋3＝x－2.答案 B4.已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为－3，则直线l的斜截式方程为________.解析 由斜截式方程，得y＝2x－3.答案 y＝2x－3类型一 直线的点斜式方程(互动探究)【例1】求满足下列条件的直线的点斜式方程.(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点.[思路探究]探究点一 直线的点斜式方程的适用条件是什么？提示 点P(x0，y0)和斜率k.探究点二 求直线的点斜式方程的方法步骤是什么？提示 在直线的斜率存在时，先确定所过定点，再确定直线的斜率，然后代入公式.解 (1)∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.又∵直线过点P(－2，3).∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2).规律方法 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0).(2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外.【训练1】(1)过点(－1，2)，且倾斜角为135°的直线方程为________.
(2)已知直线l过点A(2，1)且与直线y－1＝4x－3垂直，则直线l的方程为________.解析 (1)k＝tan135°＝－1，由直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4，由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－.又因为l过点A(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋4y－6＝0.答案 (1)x＋y－1＝0 (2)x＋4y－6＝0类型二 直线的斜截式方程【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解 (1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－.由斜截式可得方程为y＝－x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan60°＝，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.规律方法 1.本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y＝x－3”.2.截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零.【训练2】写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.解 (1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y＝3x－3.(2)由题意可知，直线的斜率k＝tan60°＝，所求直线的方程为y＝x＋5.
(3)由题意可知所求直线的斜率k＝tan30°＝，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝x.类型三 直线过定点问题【例3】求证：不论m为何值时，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.证明 法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，∴直线l过定点(－2，3)，由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限.法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.令解得∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3).∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限.规律方法 本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想.【训练3】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限.证明 法一 由已知，得直线l的点斜式方程为y－＝a.故直线l的斜率为a，且过定点，而该点在第一象限，因而结论成立.法二 直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.∵上式对任意的a总成立，∴必有即即直线l过定点，而该点在第一象限，∴结论成立.[课堂小结]1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，
即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数.如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.1.直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )A.60°，2B.120°，2－C.60°，2－D.120°，2解析 该直线的斜率为－，当x＝0时，y＝2－，∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－.答案 B2.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )A.k＞0，b＞0B.k＞0，b＜0C.k＜0，b＞0D.k＜0，b＜0解析 ∵直线经过一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k＞0，b＜0.答案 B3.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l的方程为________.解析 直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在.又直线过定点P(3，3)，所以直线l的方程为x＝3.答案 x＝34.直线l经过点P(3，4)，它的倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程和斜截式方程.解 ∵直线y＝x＋的斜率k＝，∴其倾斜角为60°，∴直线l的倾斜角为60°×2＝120°，∴直线l的斜率k′＝tan120°＝－，又∵直线l过点P(3，4)，∴直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3)，化为斜截式方程为y＝－x＋4＋3
基础过关1.直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示( )A.任何一条直线B.不过原点的直线C.不与坐标轴垂直的直线D.不与x轴垂直的直线解析 点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线.答案 D2.经过点(－1，1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是( )A.x＝－1B.y＝1C.y－1＝(x＋1)D.y－1＝2(x＋1)解析 由方程知，已知直线的斜率为，∴所求直线的斜率是，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝(x＋1)，∴选C.答案 C3.与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )A.y＝x＋4B.y＝2x＋4C.y＝－2x＋4D.y＝－x＋4解析 直线y＝2x＋1的斜率为2，∴与其垂直的直线的斜率是－，∴直线的斜截式方程为y＝－x＋4，故选D.答案 D4.已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为6，则直线l的斜截式方程为________.解析 因为直线l的倾斜角为60°，故其斜率为，由斜截式方程，得y＝x＋6.答案 y＝x＋65.过点(1，2)且与直线y＝－2x垂直的点斜式方程是________.解析 设所求直线的斜率为k，则－2·k＝－1，∴k＝.∴直线的点斜式方程为y－2＝(x－1).答案 y－2＝(x－1)
6.根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线方程的斜截式；(2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线方程的斜截式.解 (1)易知所求直线的斜率k＝－1，在y轴上的截距b＝－2，由直线方程的斜截式知，所求直线方程为y＝－x－2.(2)所求直线的斜率k＝－，且过点A(6，－4)，根据直线方程的点斜式得直线方程为y＋4＝－(x－6)，化为斜截式为y＝－x＋4.7.已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边上的高所在的直线方程.解 设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，∴kAD·kBC＝－1，∴·kAD＝－1，解得kAD＝.∴BC边上的高所在的直线方程为y－0＝(x＋5)，即y＝x＋3.能力提升8.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )A.x－2y－1＝0B.x－2y＋1＝0C.2x＋y－2＝0D.x＋2y－1＝0解析 直线x－2y－2＝0的斜率为，又所求直线过点(1，0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.答案 A9.方程y＝ax＋表示的直线可能是图中的( )解析 直线y＝ax＋的斜率是a，在y轴上的截距.
当a＞0时，斜率a＞0，在y轴上的截距＞0，则直线y＝ax＋过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a＜0时，斜率a＜0，在y轴上的截距＜0，则直线y＝ax＋过第二、三、四象限，仅有选项B符合.故正确答案为B.答案 B10.已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________.解析 令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2.由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k的范围是k≥1或k≤－1.答案 k≥1或k≤－111.已知位于第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°.求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边与BC边所在直线的方程.解 如图，(1)∵A(1，1)，B(5，1)，∴直线AB与x轴平行.∴直线AB的斜率为0，从而该直线的方程为y－1＝0.(2)∵∠A＝60°，∴kAC＝，AC边所在直线方程为y－1＝(x－1)，即x－y＋1－＝0.又∵∠B＝45°，∴直线BC的倾斜角为135°，其斜率为－1.∴BC边所在直线方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0.探究创新12.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.(1)求证：直线l恒过一个定点；(2)当－3
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