高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.1 直线的点斜式方程 教案

2017-2018学年高一数学人教A版必修2教案课题3.2.1直线的点斜式方程修改与创新教学目标1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；培养学生思维的严谨性和相互合作意识，注意学生语言表述能力的训练.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.教学重、难点教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.教学准备多媒体课件教学过程导入新课在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题).提出问题①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？②已知直线l的斜率k且l经过点P1(x1,y1)，如何求直线l的方程?③方程导出的条件是什么？④若直线的斜率k不存在，则直线方程怎样表示？⑤k=与y-y1=k(x-x1)表示同一直线吗？6 2017-2018学年高一数学人教A版必修2教案⑥已知直线l的斜率k且l经过点（０，ｂ），如何求直线l的方程？讨论结果:①确定一条直线需要两个条件:a.确定一条直线只需知道k、b即可；b.确定一条直线只需知道直线l上两个不同的已知点.②设P(x，y)为l上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=,化简,得y－y1=k(x－x1).③方程导出的条件是直线l的斜率k存在.④a.x=0；b.x=x1.⑤启发学生回答:方程k=表示的直线l缺少一个点P1(x1,y1),而方程y－y1=k(x－x1)表示的直线l才是整条直线.⑥y=kx+b.应用示例例1一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.图1解:这条直线经过点P1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0,这就是所求的直线方程,图形如图1所示.点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力.变式训练求直线y=-(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.6 2017-2018学年高一数学人教A版必修2教案解：设直线y=-(x-2)的倾斜角为α，则tanα=-，又∵α∈［0°,180°)，∴α=120°.∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2.例2如果设两条直线l1和l2的方程分别是l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2，试讨论:（1）当l1∥l2时，两条直线在y轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？（2）l1⊥l2的条件是什么？活动:学生思考：如果α1=α2，则tanα1=tanα2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l1∥l2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b1≠b2且k1=k2，则l1与l2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明α1=α2得出tanα1=tanα2的依据.解:（1）当直线l1与l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，直线l1∥l2k1=k2且b1≠b2.(2)l1⊥l2k1k2=-1.变式训练判断下列直线的位置关系:(1)l1:y=x+3,l2:y=x-2;(2)l1:y=x,l2:y=-x.答案：(1)平行；(2)垂直.例3已知直线l1：y=4x和点P(6，4)，过点P引一直线l与l1交于点Q，与x轴正半轴交于点R，当△OQR的面积最小时，求直线l的方程.活动:因为直线l过定点P(6，4)，所以只要求出点Q的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l的方程.解：因为过点P(6，4)的直线方程为x=6和y－4=k(x－6),当l的方程为x=6时，△OQR的面积为S=72；6 2017-2018学年高一数学人教A版必修2教案当l的方程为y－4=k(x－6)时，有R(,0)，Q（,)，此时△OQR的面积为S=××=.变形为(S－72)k2＋(96－4S)k－32=0(S≠72).因为上述方程根的判别式Δ≥0，所以得S≥40.当且仅当k=－1时，S有最小值40.因此，直线l的方程为y－4=－(x－6)，即x＋y－10=0.点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.变式训练如图2，要在土地ABCDE上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（精确到1m2）（单位：m）.图2解：建立如图直角坐标系，在线段AB上任取一点P分别向CD、DE作垂线，划得一矩形土地.∵AB方程为=1,则设P(x,20-)(0≤x≤30),则S矩形=(100-x)［80-(20-)］=-(x-5)2+6000+(0≤x≤30),当x=5时，y=，即P（5，）时，(S矩形)max=6017(m2).例2设△ABC的顶点A(1，3)，边AB、AC上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1=0，y=1，求△ABC中AB、AC各边所在直线的方程.6 2017-2018学年高一数学人教A版必修2教案活动:为了搞清△ABC中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题.解:如图3,设AC的中点为F，AC边上的中线BF：y=1.图3AB边的中点为E，AB边上中线CE：x－2y＋1=0.设C点坐标为(m，n),则F().又F在AC中线上,则=1,∴n=-1.又C点在中线CE上，应当满足CE的方程，则m－2n＋1=0.∴m=－3.∴C点为(－3，－1).设B点为(a,1),则AB中点E(),即E(,2).又E在AB中线上,则-4+1=0.∴a=5.∴B点为(5，1).由两点式,得到AB，AC所在直线的方程AC：x－y＋2=0,AB：x＋2y－7=0.点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：(1)中点分式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来.课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.6 2017-2018学年高一数学人教A版必修2教案2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.作业习题3.2A组2、3、5.板书设计教学反思6