高数学（人教a版）必修2同步教师用书：第3章3.2.1直线的点斜式方程

3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程1．了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点)2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点)3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点)[基础·初探]教材整理1 直线的点斜式方程阅读教材P92～P93“例1”以上部分，完成下列问题．1．条件：点P(x0，y0)和斜率k.2．图示：图3213．方程：y－y0＝k(x－x0)，适用于斜率存在的直线．直线y－4＝(x＋3)的倾斜角和所过的定点分别是(  ) A．60°，(－3,4)B．120°，(－3,4)C．60°，(3，－4)D．30°，(3，－4)【解析】 所给直线方程y－4＝(x＋3)为点斜式，k＝，定点(－3,4)，故倾斜角为60°.【答案】 A教材整理2 直线的斜截式方程阅读教材P94“例2”以上部分，完成下列问题．1．直线l在y轴上的截距直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线在y轴上的截距．2．直线的斜截式方程方程y＝kx＋b由直线的斜率k和它在y轴上的截距b确定，我们称这个方程为直线的斜截式方程，简称为斜截式．适用范围是斜率存在的直线．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为__________．【解析】 ∵直线y＝－3x－4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2.【答案】 y＝－3x＋2[小组合作型]求直线的点斜式方程 写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程； (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．【精彩点拨】 先求出直线的斜率，然后由点斜式写方程．【自主解答】 (1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan45°＝1，所以直线的方程为y－5＝x－2.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan135°＝－1.又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，直线的斜率k＝tan0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＋1＝0.(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．[再练一题]1．求满足下列条件的直线的点斜式方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点. 【解】 (1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.又∵直线过点P(－2,3)，∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．求直线的斜截式方程 根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)经过点(3,4)且在两坐标轴上的截距相等．【精彩点拨】 ―→―→【自主解答】 (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角为150°，∴斜率k＝tan150°＝－.由斜截式可得方程为y＝－x－2.(3)设直线在两坐标轴上的截距为a，当a＝0时，直线的斜截式方程为y＝x.当a≠0时，设直线的斜截式方程为 y＝－x＋b，则有4＝－3＋b，即b＝7.此时方程为y＝－x＋7，故所求直线方程为y＝x或y＝－x＋7.1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别．2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．[再练一题]2．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.【解】 由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，∴l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.[探究共研型]两直线平行与垂直的应用探究1 若两条直线的斜率均不存在，这两条直线位置关系如何？【提示】 平行或重合．探究2 若两条直线垂直，它们斜率的乘积一定等于－1吗？ 【提示】 不一定．若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，它们也互相垂直． (1)若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________；(2)若直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝________.【精彩点拨】 已知两直线的方程，且方程中含有参数可利用l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解．【自主解答】 (1)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4.∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.(2)因为l1∥l2，所以a2－2＝－1，且2a≠2，解得a＝－1，所以a＝－1时两直线平行．【答案】 (1) (2)－1(1)两条直线平行和垂直的判定：已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，①若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.②若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.(2)若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件.[再练一题]3．(1)已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________； (2)若直线l1：y＝－x－与直线l2：y＝3x－1互相平行，则a＝________.【解析】 (1)由题意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1.(2)由题意可知解得a＝－.【答案】 (1)－1 (2)－1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(  )A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1【解析】 ∵方程可变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.【答案】 C2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(  )A．k>0，b>0 B．k>0，b