高中数学人教A版必修2 第三章直线与方程3.2.1直线的点斜式方程 PPT课件

3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程 目标导航课标要求1.了解直线方程的点斜式的推导过程.2.掌握直线方程的点斜式并会应用.3.掌握直线方程的斜截式,了解截距的概念.素养达成通过对直线点斜式方程的学习,进一步培养学生的数形结合、抽象概括能力. 1.直线的点斜式方程(1)定义:如图所示,直线l过定点P(x0,y0),斜率为k,则把方程叫做直线l的点斜式方程,简称点斜式;新知导学·素养养成y-y0=k(x-x0) (2)如图所示,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直线没有点斜式,其方程为x-x0=0,或.x=x0思考:直线的点斜式方程能否表示坐标平面内的所有直线?答案:不能.当直线的斜率不存在时不能用点斜式表示. 2.直线的斜截式方程(1)定义:如图所示,直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则方程叫做直线l的斜截式方程,简称斜截式;(2)一条直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的.倾斜角是的直线没有斜截式方程.y=kx+b截距直角 名师点津(1)经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可以分为两类:①斜率存在的直线,方程为y-y0=k(x-x0);②斜率不存在的直线,方程为x-x0=0,或x=x0.(2)直线的斜截式方程①斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在.②纵截距不是距离,它是直线与y轴交点的纵坐标,所以可取一切实数,即可为正数、负数或零. 课堂探究·素养提升题型一 直线的点斜式方程[例1]写出下列直线的点斜式方程.(1)经过点(2,5),倾斜角为45°;(2)直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l,求直线l的点斜式方程;解:(1)因为倾斜角为45°,所以斜率k=tan45°=1,所以直线的方程为y-5=x-2.(2)直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45°.由题意知,直线l的倾斜角为135°,所以直线l的斜率k′=tan135°=-1.又点P(3,4)在直线l上,由点斜式方程知,直线l的方程为y-4=-(x-3). (3)经过点C(-1,-1),且与x轴平行;(4)经过点D(1,1),且与x轴垂直.解:(3)由题意知,直线的斜率k=tan0°=0,所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0,即y+1=0.(4)由题意可知直线的斜率不存在,所以直线的方程为x=1,该直线没有点斜式方程. 误区警示利用点斜式求直线方程的方法(1)用点斜式求直线的方程,首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标.注意在斜率存在的条件下,才能用点斜式表示直线的方程;当直线的斜率不存在时,直线方程为x=x0;(2)已知两点坐标求直线的方程,可以先求斜率,再用点斜式求直线的方程. (2)设所求直线方程为3x+4y+m=0,代入(2,3)点,6+12+m=0,解得m=-18.所以直线方程为3x+4y-18=0.(3)设所求直线方程为4x-3y+n=0,代入(2,3)点,8-9+n=0,解得n=1.所以直线方程为4x-3y+1=0. 2.求满足下列条件的直线的点斜式方程.(1)过点P(-4,3),斜率k=-3;(2)过点P(3,-4),且与x轴平行;(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.解:(1)因为直线过点P(-4,3),斜率k=-3,由直线方程的点斜式得直线方程为y-3=-3(x+4),(2)与x轴平行的直线,其斜率k=0,由直线方程的点斜式可得直线方程为y-(-4)=0×(x-3),即y+4=0. 解:(1)由直线方程的斜截式可知,所求直线方程为y=2x+5.题型二 直线的斜截式方程[例2]根据条件写出下列直线的斜截式方程:(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2; (3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 方法技巧(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b=0时,y=kx表示过原点的直线;当k=0时,y=b表示与x轴平行(或重合)的直线.(2)截距不同于日常生活中的距离,截距是一个点的横(纵)坐标,是一个实数,可以是正数,也可以是负数或零,而距离是一个非负数. 即时训练2-1:已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等,求直线l的方程.解:由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为l∥l1,所以l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=-2,由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2. [备用例2]1.直线l经过点(-2,2),且与直线y=x+6在y轴上有相等的截距,则直线l的方程为.解析:设直线l的方程为y=kx+6,将点(-2,2)代入,得2=-2k+6,解得k=2,所以直线l的方程为y=2x+6.答案:y=2x+6 题型三 平行垂直的应用[例3]当a为何值时,(1)两直线y=ax-2与y=(a+2)x+1互相垂直?解:(1)设两直线的斜率分别为k1,k2,则k1=a,k2=a+2.因为两直线互相垂直,所以k1k2=a(a+2)=-1,解得a=-1.故当a=-1时,两条直线互相垂直. (2)两直线y=-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行? 方法技巧对于不能用斜截式方程表示的直线,判断它们的位置关系时,需注意:(1)若两条直线的斜率均不存在,则平行或重合.(2)若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则垂直.(3)若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在但不为0,则两条直线既不平行也不垂直. 即时训练3-1:(1)当a为何值时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行?(2)当a为何值时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直? 2.△ABC中,A(1,-1),B(4,a),C(3,3).若△ABC是以B为直角的直角三角形.(1)求a; (2)求直线AB的方程. 课堂达标解析:因为方程可变形为y+2=-(x+1),所以直线过点(-1,-2),斜率为-1.故选C.1.已知直线的方程是y+2=-x-1,则()(A)直线经过点(-1,2),斜率为-1(B)直线经过点(2,-1),斜率为-1(C)直线经过点(-1,-2),斜率为-1(D)直线经过点(-2,-1),斜率为1C 2.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有()(A)k>0,b>0(B)k>0,b