3.2.1直线的点斜式方程疱丁巧解牛知识•巧学一、直线的点斜式方程1.已知直线过点Po(xo,yo),斜率为k,则其方程为y-yo=k(x-xo).2.注意公式的应用前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.3.当直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0。，斜率k=0,仍可用上述公式.此时可简写为y-yo=O或y=y0.特别地,x轴的方程是y=0.当直线与y轴平行或重合时，直线的倾斜角为90。，斜率不存在，不能应用点斜式方程.此时根据直线上每个点的横坐标都相等，可将方程写成x-x°=0或x=x°.特别地，y轴的方程是x=0.点斜式方程中的点只要是直线上的点，哪一个都可以.辨析比较过点P(xo,yo)的所有直线是x=x()或y-yo=k(x-xo).-一—=上与y-yo=k(x-xo)的区别：前者不包含点P(xo,yo),后者包含点P(xo,yo).二、直线的斜截式方程1.已知直线过点Po(0,b),斜率为k,则其方程为y=kx+b,其中b叫做直线在y轴上的截距,也叫纵截距.2.“截距”不同于日常生活中的“距离”，截距是一个点的(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零；而距离是一个非负数.3.斜截式方程的应用前提也是直线的斜率存在，并且给出的已知点是直线与y轴的交点.当b二0吋，y二kx表示过原点的直线；当k=0吋，y二b表示与x轴平行(或重合)的直线；当k二0且b二0时，y二0即表示x轴.辨析比较斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y二kx+b,但有区别：当斜率不为0时,y二kx+b即为一次函数，当k二0时,y二b不是一次函数;一次函数y二kx+b(kH0)必是一条直线的斜截式方程.问题・探究问题1若直线1经过点Po(xo,Yo)，且与X轴垂直，其直线方程怎样表示？若直线1经过点Po(x0,yo),且与y轴垂直，其直线方程怎样表示？探究:与x轴垂直的直线上的所有点的横坐标都相等且等于x。，纵坐标任意，方程可表示为x=x°；与y轴垂直的直线上的所有点的纵坐标都为yo,而横坐标任意，所以方程可表示为y=yo.问题2是否任何直线都存在y轴上的截距？探究:不是任何直线都存在y轴上的截距，平行于y轴的直线与y轴没有交点，所以不存在纵截距，其他的直线都有y轴上的截距，即纵截距.问题3直线的斜截式方程的截距指纵截距，是否也可以导出横截距的直线方程？探究:直线的斜截式方程是由点斜式自然推11!y=kx+b.若kHO,可化为x二丄(y-b)=丄〉1kkk这时对k的要求更多，而当k不存在时，也存在在x轴上有截距的直线；k二0时，这样的直线与x轴或者平行或者重合，此时在x轴上的截距不存在.典题・热题例1分别求出经过点P(3,4)且满足下列条件的直线方程，并画出图形.(1)斜率k=2;
(1)与x轴平行；(2)与x轴垂直.思路解析：经过一个点求直线的方程，若所求直线与x轴或y轴垂直，则可直接写出所求直线的方程，其他情形可直接用公式求出.过一点求直线的方程，若斜率不存在或斜率为零时,可直接写出直线的方程，将此作为一种特殊情况熟练掌握.解:(1)这条直线经过点P(3,4),斜率k=2,点斜式方程为y-4=2(x-3),可化为2x-y-2=0.如图3-2-1(1)所示.(2)由于直线经过点P(3,4)且与x轴平行，所以直线方程为尸4.如图3-2-1(2)所示.(3)由于直线经过点P(3,4)且与x轴垂直，所以直线方程为x=3.如图3-2-1(3)所示.(1)(2)(3)图3-2-1深化升华本题是对直线的点斜式方程公式的直接应用，在倾斜角不为90°，即斜率存在时,直接代入直线的点斜式方程即可.若直线倾斜角为90°时方程可直接写出.例2已知直线L：(m-m-2)x+2y+m-2=0,l2:2x+(m-2)y+2=0,求m取何值时,L//L?li±l2?思路解析：可以通过两直线斜率的关系來判断，但要注意直线斜率不存在的情况.解：当m二2时，直线L的斜率不存在，可验证h的斜率为0,此时两直线垂直.当m^2时，可把直线方程化为斜截式求出直线斜率和在y轴上的截距，2—,77—22ki=,k2=.所以当ki%时解得m二3或m二0.但m二0时可得两直线方程相22-m同，即直线重合.所以当m二3时h〃L・当kk二-1时两直线垂直，解得m-2・综上可知，当m二3时h〃b；当m二±2时两直线垂直.拓展延伸在前面我们已研究了两直线的平行与判定，如果给出两条直线的斜截式方程1“y=kix+bi,I2：y=k?x+b2>来判断两直线位置关系，则li〃k】二k2且b：Hb2,li丄12=*kzkL-1.当一直线的斜率不存在时，若两直线平行，则另一直线的斜率也不存在；若两直线垂直，则另一直线的斜率等于0.如果给出的方程不是斜截式，可先化为斜截式，在化时耍注意等价性(不要丢解)•利用此性质，也可求与已知直线平行或垂直的直线.变式：直线2x-y+k=0和4x-2y+l二0的位置关系是()A.平行B.垂直C.平行或重合D.既不平行也不重合解析：把两直线的方程化为斜截式为y二2x+k和y二2x+丄，其斜率相等.当k二丄时，两直22线重合，当kH丄时，两直线平行.2答案：C例3直线经过点A(2,1),B(0,-3),求此直线的斜截式方程.若将A(2,1)换成A(2+a2,1+a2),要使kAb最大，其直线方程又怎样？思路解析：已知两点，可先求出斜率，再写出斜截式方程.要使也最大，需对参数进行取值
研究.解：先求出此直线的斜率kAH=——=2，再由斜截式写出方程y二2x-3.当A(2,1)变成A(2+a；1+a2)时,灯二彎彳=1+飞务，当a2=0时，灯取最大值2.此时直线的方程仍为y=2x-3.误区警示由于斜截式方程和点斜式方程都是用斜率k表示的，故这两类直线方程不能用来表示垂直于x轴的直线，这在解题屮应注意，否则会产生漏解.
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