高中数学必修2直线与圆优质教案:直线的点斜式方程
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高中数学必修2直线与圆优质教案:直线的点斜式方程

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时间:2022-08-17

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资料简介
直线的点斜式方程【教学目标】1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法,掌握直线的点斜式方程,了解直线方程的斜截式是点斜式的特例;培养学生思维的严谨性和相互合作意识,注意学生语言表述能力的训练.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件,并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.【重点难点】教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件,并会利用探讨出的条件求出直线的方程.教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.【课时安排】1课时【教学过程】导入新课方程y=kx+b与直线l之间存在着什么样的关系?让学生边回答,教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即(1)直线l上任意一点P(x1,y1)的坐标是方程y=kx+b的解.(2)(x1,y1)是方程y=kx+b的解点P(x1,y1)在直线l上.这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布课题).推进新课新知探究提出问题①如果把直线当做结论,那么确定一条直线需要几个条件?如何根据所给条件求出直线的方程?②已知直线l的斜率k且l经过点P1(x1,y1),如何求直线l的方程?③方程导出的条件是什么? ④若直线的斜率k不存在,则直线方程怎样表示?⑤k=与y-y1=k(x-x1)表示同一直线吗?⑥已知直线l的斜率k且l经过点(0,b),如何求直线l的方程?讨论结果:①确定一条直线需要两个条件:a.确定一条直线只需知道k、b即可;b.确定一条直线只需知道直线l上两个不同的已知点.②设P(x,y)为l上任意一点,由经过两点的直线的斜率公式,得k=,化简,得y-y1=k(x-x1).③方程导出的条件是直线l的斜率k存在.④a.x=0;b.x=x1.⑤启发学生回答:方程k=表示的直线l缺少一个点P1(x1,y1),而方程y-y1=k(x-x1)表示的直线l才是整条直线.⑥y=kx+b.应用示例例1已知直线l1:y=4x和点P(6,4),过点P引一直线l与l1交于点Q,与x轴正半轴交于点R,当△OQR的面积最小时,求直线l的方程.活动:因为直线l过定点P(6,4),所以只要求出点Q的坐标,就能由直线方程的两点式写出直线l的方程.解:因为过点P(6,4)的直线方程为x=6和y-4=k(x-6),当l的方程为x=6时,△OQR的面积为S=72;当l的方程为y-4=k(x-6)时,有R(,0),Q(,),此时△OQR的面积为S=××=.变形为(S-72)k2+(96-4S)k-32=0(S≠72). 因为上述方程根的判别式Δ≥0,所以得S≥40.当且仅当k=-1时,S有最小值40.因此,直线l的方程为y-4=-(x-6),即x+y-10=0.点评:本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量,建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值,学生可能有困难,教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.变式训练如图1,要在土地ABCDE上划出一块长方形地面(不改变方向),问如何设计才能使占地面积最大?并求出最大面积(精确到1m2)(单位:m).图1解:建立如图直角坐标系,在线段AB上任取一点P分别向CD、DE作垂线,划得一矩形土地.∵AB方程为=1,则设P(x,20-)(0≤x≤30),则S矩形=(100-x)[80-(20-)]=-(x-5)2+6000+(0≤x≤30),当x=5时,y=,即P(5,)时,(S矩形)max=6017(m2).例2设△ABC的顶点A(1,3),边AB、AC上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0,y=1,求△ABC中AB、AC各边所在直线的方程.活动:为了搞清△ABC中各有关元素的位置状况,我们首先根据已知条件,画出简图3,帮助思考问题.解:如图2,设AC的中点为F,AC边上的中线BF:y=1. 图2AB边的中点为E,AB边上中线CE:x-2y+1=0.设C点坐标为(m,n),则F().又F在AC中线上,则=1,∴n=-1.又C点在中线CE上,应当满足CE的方程,则m-2n+1=0.∴m=-3.∴C点为(-3,-1).设B点为(a,1),则AB中点E(),即E(,2).又E在AB中线上,则-4+1=0.∴a=5.∴B点为(5,1).由两点式,得到AB,AC所在直线的方程AC:x-y+2=0,AB:x+2y-7=0.点评:此题思路较为复杂,应使同学们做完后从中领悟到两点:(1)中点分式要灵活应用;(2)如果一个点在直线上,则这点的坐标满足这条直线的方程,这一观念必须牢牢地树立起来.变式训练已知点M(1,0),N(-1,0),点P为直线2x-y-1=0上的动点,则|PM|2+|PN|2的最小值为何?解:∵P点在直线2x-y-1=0上,∴设P(x0,2x0-1).∴|PM|2+|PN|2=10(x0-)2+≥.∴最小值为. 拓展提升已知直线y=kx+k+2与以A(0,-3)、B(3,0)为端点的线段相交,求实数k的取值范围.图3活动:此题要首先画出图形3,帮助我们找寻思路,仔细研究直线y=kx+k+2,我们发现它可以变为y-2=k(x+1),这就可以看出,这是过(-1,2)点的一组直线.设这个定点为P(-1,2).解:我们设PA的倾斜角为α1,PC的倾斜角为α,PB的倾斜角为α2,且α1<α<α2.则k1=tanα1<k<k2=tanα2.又k1==-5,k2==-,则实数k的取值范围是-5<k<-.课堂小结通过本节学习,要求大家:1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法,掌握直线的点斜式方程,了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件,并会利用探讨出的条件求出直线的方程.作业习题3.2A组2、3、5.

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