直线方程的两点式方程与截距式方程

课题:9.2直线方程的两点式方程与截距式方程教学目的：1.掌握直线方程的两点式、截距式以及它们之间的联系和转化，并能根据条件熟练地求岀满足已知条件的直线方程♦2.通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力，使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能九3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.教学重点：直线方程的两点式、截距式的推导.教学难点：直线方程的两点式、截距式的推导及运用.内容分析：本小节所介绍的直线方程的几种形式中，两点式、截距式给出了根据常见的条件求直线方程的方法和途径，直线方程的截距式、两点式都是由点斜式导出•讲解直线方程的两点式、截距式，着重于两点式的推导、应用以及斜率不存在的或为零时对两点式方程的讨论及变形.教学过程：一、复习引入： 1.直线的点斜式方程一已知直线/经过点片(几)1),且斜率为R,直线的方程：y-y\=k(x-x^为直线方程的点斜式.直线的斜率£=0时，直线方程为当直线的斜率£不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为X=x}.2.直线的斜截式方程一已知直线/经过点P(0,b),并且它的斜率为k,直线/的方程：y=kx+b为斜截式.⑴斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.(2)斜截式y=kx+h在形式上与一次函数的表达式一样，它们Z间只有当比工0时，斜截式方程才是一次函数的表达式.⑶斜截式y=kx+b中，k,b的几何意义.应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程：(DA(2,1),B(6,-3)；(2)A(0,5)B(5,0)；(3)A(—4,-5)B(0,0).设计意图：本环节从学生利用上节课学过的直线的方程的点斜式，求过两已知点的直线的方程出发，让学生“悟”出学习两点式的必要性，同时也“悟”也两点式的推导方法,以此导入新课，目的在于学生既加深学过知识的理解，又为学习新知识奠定良好的基础” 二、讲解新课：1.直线方程的两点式已知直线上两点心,％），B（兀2*2）（兀】工兀2），求直线方程.首先利用直线的斜率公式求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程为：x2-Xj由y-y严可以导出上准=±^,这两者兀2一码）?2一X兀2一兀1表示了直线的范围是不同的•后者表示范围缩小了•但后者这个方程的形式比较对称和美观，体现了数学美，同时也便于记忆及应用•所以采用后者作为公式，由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做玄线方程的两点式，所以，当旺工兀2，X工『2时，经过A（兀i，yjB（x2,y2）的直线的两点式方程可以写成：儿一X兀2一E探究1：哪些直线不能用两点式表示？答：倾斜角是0。或90。的直线不能用两点式公式表示.探究2：若耍包含倾斜角为0。或90。的直线，应把两点式 变成什么形式？答：应变为（丿-儿）（兀2-兀1）=（兀-州）（丁2-儿）的形式*探究3：我们推导两点式是通过点斜式推导出来的，还有没有其他的途径來进行推导呢？答：有，利用同一直线上三点中任意两点的斜率相等.1.直线方程的截距式定义：直线与X轴交于一点（a,0）定义d为直线在兀轴上的截距；直线与y轴交于一点（0,b）定义b为直线在），轴上的截距.在例1（4）中，得到过A（q,0）B（0,b）（d,b均不为0）的直线方程为ySb,将其变形为：兰+*=1・aab以上直线方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距式•有截距式画直线比较方便，因为可以直接确定直线与X轴和y轴的交点的坐标.探究4：a,b表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？答：不是，它们可以是正，也可以是负，也可以为0・探究5：有没有截距式不能表示的直线？答：有，当截距为零时•故使用截距式表示直线时，应注意 单独考虑这几种情形，分类讨论，防止遗漏.三、讲解范例：例1求过下列两点的直线的两点式方程，再化为斜截式方程.(1)A(2,1),B(0,-3)；(2)A(-4,-5),B(0,0)(3)A(0,5),B(5,0)；(4)A(a,0)B(0,b)(a,b均不为0)设计意图：为更好地揭示直线方程两点式公式的内涵,加深学生对公式的理解，木环节通过创设不同角度的四个问题，供学生思考、分析，让学生体会数学的“对称美”，同时又培养了学生严密的逻辑思维能力，渗透了分类讨论的数学思想。另外，通过学生完成练习，既巩固了两点式的应用,又产自然地引导出下一环节讲解的截距式.例2说出下列直线的方程，并画出图形.⑴倾斜角为45。，在y轴上的截距为0；⑵在x轴上的截距为一5,在y轴上的截距为6；⑶在兀轴上截距是一3,与y轴平行；⑷在y轴上的截距是4,与兀轴平行.设计意图：在讲完两点式后，紧接着讲解截距式，有利于 比较两种形式的方程，从而有助于学生理解两者之间的内在的联系和区别，在具体应用截距式吋能考虑到截距为0与不为0的两种情况，并建立完善的知识的结构.四、课堂练习：谯12(2)(3)五、小结：通过列表从名称、形式、已知条件、使用范围、示意图等方面对所学的直线方程的四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)进行填表比较：直线名称已知条件直线方程使用范围示意图点斜式y-=心_州)R存在斜截式k,hy=kx+hR存在两点式(兀2，力)y—>'l_X—兀1>‘2-X兀2-歼歼“2，必工丁2截距式a.babaH0,b工0 设计意图：为帮助学生用联系的观点來学习知识，乂能把四种形式的直线方程加以区别，以便更好地运用它们，本环节主要采用比较法的形式小结.六、课后作业：饪12(1)(3)