高中数学人教A版必修2 第三章直线与方程 3.2.2直线的两点式方程 学案

3.2.2直线的两点式方程、截距式、一般式方程(一)教学目标1．知识与技能（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。2．过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.3．情态与价值观（1）认识事物之间的普通联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。（二）教学重点、难点：1．重点：直线方程两点式。2．难点：两点式推导过程的理解。（三）教学内容1．两点式方程利用点斜式解答如下问题：已知两点P1(x1，x2)，P2(x1，x2)其中(x1≠x2，y1≠y2).求通过这两点的直线方程.根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：y–y1=指出：当y1≠y2时，方程可写成概念：由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-pointform）.分析：（1）当x1=x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：x=x1；（2）当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：y=y1.（3）把两点式＝化成整式形式为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，可用于求过平面上任意两点的直线方程吗？可以2.截距式方程已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0，b≠0.求直线l的方程.直线方程：小结：（1）a,b的几何意义：截距（2）叫直线方程的截距式.3.一般式方程点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都可以化为关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0；与x轴或与y轴垂直的直线方程也可以写成上式，所以平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示.（2）每一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示一条直线.定义：把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式(generalform).4．直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？-6- 不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.5．在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y重合；（5）x轴的方程（y=0）;（6）；y轴(x=0)例1.已知三角形的三个顶点A(–5,0),B(3,–3),C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程；求BC边上高所在直线的方程.解析：如图，过B(3，–3)，C(0，2)的两点式方程为整理得5x+3y–6=0.这就是BC所在直线的方程.BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为()，即().过A(–5，0)，M()的直线的方程为，整理得，即x+13y+5=0.这就是BC边上中线所在直线方程.小结：点A(x1，y1)、B(x2，y2)，线段AB的中点P的坐标为例2.（1）求经过点A(–3，4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.解析：当直线l在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为.将A(–3，4)代入上式，有，解得a=–7.∴所求直线方程为x–y+7=0.当直线l在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y=kx.将A(–3，4)代入方程得4=–3k，即k=.∴所求直线的方程为x，即4x+3y=0.故所求直线l的方程为x–y+7=0或4x+3y=0.评析：此题运用了直线方程的截距式，在用截距时，必须注意适用条件：a、b存在且都不为零，否则容易漏解.（2）求过点P(－3,4)且在两坐标轴上的截距之和为12的直线的方程．[解析] 设直线方程为＋＝1，则解方程组得或故所求直线方程为＋＝1或＋＝1即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.-6- 例3.如图，某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费y（元）与行李重量x(kg)的关系用直线AB的方程表示，试求：（1）直线AB的方程；（2）旅客最多可免费携带多少行李？解析：（1）由图知，A(60，6)，B(80，10)代入两点式可得AB方程为x–5y–30=0（2）由题意令y=0，得x=30即旅客最多可免费携带30kg行李.例4.已知直线经过点A(6,–4)，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式.例5.把直线l的一般式方程x–2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.归纳：由直线方程的一般式，求直线的斜率和截距的方法：把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率的和直线在y轴上的截距.求直线与x轴的截距，即求直线与x轴交点的横坐标，为此可在方程中令y=0，解出x值，即为与直线与x轴的截距.在直角坐标系中画直线时，通常找出直线下两个坐标轴的交点.解：将直线l的一般式方程化成斜截式y=x+3.因此，直线l的斜率k=，它在y轴上的截距是3.在直线l的方程x–2y+6=0中，令y=0，得x=–6，即直线l在x轴上的截距是–6.由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(–6，0)，B(0，3)，过点A，B作直线，就得直线l的图形.思考：二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？学生阅读教材第105页，从中获得对问题的理解.课堂练习第105练习第2题和第3（2）例6.已知直线mx+ny+12=0在x轴，y轴上的截距分别是–3和4，求m，n.解法一：将方程mx+ny+12=0化为截距式得：，-6- 解法二：由截距意义知，直线经过A(–3，0)和B(0,4)两点，例7.设直线l的方程为(m2–2m–3)x+(2m2+m–1)y=2m–6，根据下列条件分别确定实数m的值.（1）l在x轴上的截距为–3；（2）斜率为1.解析：（1）令y=0，依题意，得：①②由①得：m≠3，且m≠–1，由②得：3m2–4m–15=0，解得m=3或，所以综合得.由题意得：③④由③得：m≠–1且m≠，由④得：m=–1或，所以例8.（1）已知，直线过定点，且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围.（注意：一定要画图）（2）直线与连接的线段相交，求的取值范围.解析：直线恒过定点（0,2），且斜率为，则例9.(1)已知三直线，（1）求证：(2)求过点A(2,2)且分别满足下列条件的直线方程：（Ⅰ）与直线l：3x＋4y－20＝0平行；（Ⅱ）与直线l：3x＋4y－20＝0垂直．[解析] (1)把l1、l2、l3的方程写成斜截式得l1y＝x＋；l2y＝x＋；l3y＝－2x＋，∵k1＝k2＝，b1＝≠＝b2，∴l1∥l2.∵k3＝－2，∴k1·k3＝－1，∴l1⊥l3.(2)解法1：已知直线l：3x＋4y－20＝0的斜率k＝－.（Ⅰ）过A(2,2)与l平行的直线方程为y－2＝－(x－2)．即3x＋4y－14＝0.-6- （Ⅱ）过A与l垂直的直线的斜率k1＝－＝方程为y－2＝(x－2)．即4x－3y－2＝0为所求．解法2：（Ⅰ）设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0，由(2,2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c＝0，∴c＝－14.∴所求直线为3x＋4y－14＝0.（Ⅱ）设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0，由(2,2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0，∴λ＝－2.∴所求直线为4x－3y－2＝0.[点评] 1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0.2．直线l1A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0若l1⊥l2则：A1A2＋B1B2＝0；若A1A2＋B1B2＝0则l1⊥l2.若l1∥l2，则A1B2－A2B1＝0，反之若A1B2－A2B1＝0，则l1∥l2或l1与l2重合．例10.(1)直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则a的值为________．(2)过点A(－1,2)与直线x＋2y－1＝0垂直的直线方程为________．[答案] (1)－1 (2)2x－y＋4＝0[解析] (1)∵l1∥l2，∴＝≠，由＝，解得a＝－1或3，∵a＝3时，＝，∴a＝－1.(2)设所求直线方程2x－y＋λ＝0，∵过A(－1,2)，∴λ＝4.[点评] (2)中求直线方程时，可以从不同角度入手解决．法一：所求直线过点A(－1,2)，可设方程为y－2＝k(x＋1)，整理为一般式用垂直条件求k.法二：已知直线的斜率k1＝－，故所求直线的斜率k＝2，直接用点斜式写出方程例11.一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程．[分析] 直线与两坐标轴围成三角形的面积与两截距有关，故可设截距式方程求解．[解析1] 由题设可知，直线在两轴上的截距均不为0，故可设所求直线方程为＋＝1，∵点A(－2,2)在直线上，故有－＋＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴|a||b|＝1.②由①，②可得(1)     或(2)由(1)解得或方程组(2)无解．故所求的直线方程为＋＝1，或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求．解析2：当斜率不存在时，设直线的方程为，不满足题意，舍去当斜率存在时，设直线方程为-6- （2）一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求三角形面积最大值，及此时的直线方程.练习：过点作直线分别交正半轴与两点，（1）若取得最小值时，求直线的方程；（2）若取得最小值时，求直线的方程.-6-