3.2.2直线的两点式方程
1.直线的两点式、截距式方程
【思考】(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示?提示:与x轴、y轴平行的直线,x轴,y轴.(2)什么样的直线的方程不能用截距式表示?提示:与x轴、y轴平行或重合及过原点的直线.
2.两点的中点坐标公式点P(x,y)是线段P1P2的中点,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x=
【思考】如果已知点P(a,b)是线段P1P2的中点,其中P1(x1,y1),那么点P2的坐标是什么?
提示:设点P2(x2,y2),由中点坐标公式:a=,b=,所以x2=2a-x1,y2=2b-y1,则点P2(2a-x1,2b-y1).
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)过点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线都可以用方程表示.()
(2)在x轴,y轴上的截距分别为a,b的直线方程为=1.()(3)任何一条直线都有在x轴,y轴上的截距.()
【提示】(1)×.当x1=x2或y1=y2时,直线不能用方程表示.(2)×.当a=0或b=0时,在x轴,y轴上的截距分别为a,b的直线不能用方程=1表示.(3)×.例如与x轴平行的直线只有在y轴上的截距.
2.直线=1在y轴上的截距是()A.3B.-3C.4D.-4
【解析】选D.直线=1即=1在y轴上的截距是-4.
3.已知A(-5,4),B(3,-2),则线段AB的中点坐标为________.
【解析】设线段AB的中点为M,其坐标为(x,y),又因为A(-5,4),B(3,-2),则即线段AB的中点坐标为(-1,1).答案:(-1,1)
类型一 直线的两点式方程【典例】1.经过A(-2,3),B(4,-1)的直线的两点式方程为()
2.(2019·南京高一检测)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l经过点(-1,0),(1,4),则直线l的两点式方程是________.3.已知在△ABC中,点A(-1,0),B(0,),C(1,-2),则AB边中线所在直线的两点式方程为________.
【思维·引】1.判断是否符合直线的两点式方程的形式.2.根据直线的两点式方程公式写方程.3.先求出AB的中点,再写两点式方程.
【解析】1.选D.由题意可得直线的两点式方程为2.根据两点式方程可得答案:
3.点A(-1,0),B(0,),中点D所以AB边中线所在直线的方程为答案:
【内化·悟】直线的两点式方程中,分子与分母有什么相同之处?提示:方程两侧的分式中,分子分母的中间运算符号相同,算式的后一个因式相同.
【类题·通】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)适用条件:两点的连线不平行于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程.
(2)差的顺序性:常会将x,y或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系.提醒:已知两点坐标,求过这两点的直线方程也可以先求斜率,再代入点斜式得到直线的方程.
【习练·破】已知△ABC三顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的两点式方程为________.
【解析】由中点坐标公式可得M(2,4),N(3,2),再由两点式可得直线MN的方程为答案:
【加练·固】(2019·成都高一检测)已知直线l过点(-2,1)与(2,3),则直线的两点式方程为________.
【解析】直线l过点(-2,1)与(2,3),则直线的两点式方程为答案:
类型二 直线的截距式方程【典例】1.(2019·武侯高一检测)过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为()
A.x-y+1=0或3x-2y=0B.x+y-5=0C.x-y+1=0D.x+y-5=0或3x-2y=0
2.直线l过点(1,2)和第一、二、四象限,若l的两截距之和为6,求直线l的方程.
【思维·引】1.分截距等于0、不等于0两种情况分别求方程.2.利用已知条件设出截距式方程求截距,整理得方程.
【解析】1.选A.过点P(2,3),且在两坐标轴上的截距互为相反数,当横截距a=0时,纵截距b=0,直线过点P(2,3),(0,0),所以直线方程为即3x-2y=0.当横截距a≠0时,纵截距b=-a,直线方程为=1,因为直线过点P(2,3),所以直线方程为=1,解得a=-1,所以直线方程为-x+y=1,即x-y+1=0.综上,所求直线方程为x-y+1=0或3x-2y=0.
2.设直线l的横截距为a,则纵截距为6-a,l的方程为=1,因为点(1,2)在直线l上,所以=1,即a2-5a+6=0.解得a1=2,a2=3.当a=2时,直线的方程为=1,当a=3时,直线的方程为=1,直线l都经过第一、二、四象限,符合题意,综上知,直线l的方程为
【内化·悟】设直线的截距式方程时需要注意什么问题?提示:需要注意直线的截距不能为0,如果不能确定,则分情况讨论.
【类题·通】直线的截距式方程在解题中的应用(1)在解决直线与坐标轴围成的三角形面积、周长的问题中,常设直线的截距式方程.(2)当直线与x轴、y轴平行,过原点时不能设截距式方程,可以利用点斜式等形式解题.
【习练·破】直线l过点P(1,3),且与x,y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是()A.3x+y-6=0B.x+3y-10=0C.3x-y=0D.x-3y+8=0
【解析】选A.设所求的直线方程为:=1(a>0,b>0).因为过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6,所以解得a=2,b=6,所以直线的截距式方程为=1,故所求的直线方程为:3x+y-6=0.
【加练·固】直线l经过点A(-3,4),且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,则直线l的方程是()
A.2x+y+2=0B.2x+y+2=0或4x+3y=0C.x-2y+11=0D.x-2y+11=0或4x-3y=0
【解析】选B.当直线经过原点时,直线方程为:y=-x,即4x+3y=0;当直线不经过原点时,设直线方程为=1,把点A(-3,4)代入,得=1,解得a=-1,所以直线方程为=1,即2x+y+2=0.
类型三 直线方程的简单应用角度1图象的辨析【典例】(2019·涪城高一检测)两条直线l1:=1和l2:=1在同一直角坐标系中的图象可以是()
【思维·引】根据图象中l1,l2的位置,确定截距的关系、符号,判断是否符合.
【解析】选A.由截距式方程可得直线l1的横、纵截距分别为a,-b,直线l2的横、纵截距分别为b,-a,选项A,由l1的图象可得a0,可得直线l2的截距均为正数,故正确;选项B,只有当a=-b时,才有直线平行,故错误;选项C,只有当a=b时,才有直线的纵截距相等,故错误;选项D,由l1的图象可得a>0,b>0,可得直线l2的横截距为正数,纵截距为负数,图象不对应,故错误.
【素养·探】在利用方程辨析函数的图象时,常常用到核心素养中的直观想象,需要根据直线的方程想象图象特征,根据图象特征得出直线的方程性质.
若将本例中的条件变为“直线=1的图象如图所示”,则关于截距a,b的关系中一定正确的是________.①|a|>|b|;②③(b-a)(b+a)|b|,①正确;-a>b>0,所以,②正确;b-a>0,b+a
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