3.2.2直线的两点式方程
1.掌握直线方程的两点式与截距式的形式特点及适用范围.2.能正确利用直线方程的两点式与截距式求直线方程.
1.直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件过点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)(其中x1≠x2且y1≠y2)在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b(a≠0,b≠0)图形
两点式截距式方程________________________适用范围不表示平行于坐标轴的直线不表示平行于坐标轴的直线及过原点的直线
2.线段的中点坐标公式(1)条件：点P(x,y)是线段P1P2的中点且P1(x1,y1),P2(x2，y2).(2)结论：x=_______，y=_______.
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”，错误的打“×”).(1)过点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线都可以用方程表示.()(2)在x轴,y轴上的截距分别为a,b的直线方程为.()(3)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.()(4)直线y=x在x轴和y轴上的截距均为0.()
提示：(1)错误.当x1=x2或y1=y2时，直线不能用方程表示.(2)错误.当a=0或b=0时，在x轴,y轴上的截距分别为a,b的直线不能用方程表示.(3)正确.直线的截距式就是直线过(a,0),(0,b)两点的直线的两点式方程的简化形式.(4)正确.直线y=x与坐标轴的交点为(0,0)，故在x轴和y轴上的截距均为0.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)经过点(-1,2)与点(2,5)的直线方程为_______.(2)直线在y轴上的截距是_______.(3)过点A(1,4)，且纵、横截距相等的直线有_______条.(4)如果直线l过(-1,-1),(2,5)两点，点(2013,m)在直线l上，则m＝________.
【解析】(1)由直线的两点式方程可知，过点(-1,2)与点(2,5)的直线方程为化简得y=x+3.答案：y=x+3(2)令x=0，得y=-3，所以直线在y轴上的截距是-3.答案：-3
(３)由图可知，满足条件的直线共2条.答案：2
(4)由直线的两点式方程可知，直线l的方程为化简得y=2x+1.又点(2013,m)在直线l上，所以m=2×2013+1，所以m=4027.答案：4027
一、直线的两点式方程探究1：观察图象，思考下列问题：
(1)直线l经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2)两点,那么直线l的点斜式方程是什么?提示：由x1≠x2,所求直线的斜率为则直线的点斜式方程为y-y1=(x-x1).
(2)能否将所求的直线l的方程写成比例式，它们是否等价？提示：当y1≠y2时，方程的两边同除以y2-y1，得.在方程y-y1=中，y1与y2可以相等，在方程中，y1≠y2，故两个方程不等价.其中方程称为直线的两点式方程.
探究2：根据直线l的两点式方程(x1≠x2,y1≠y2).思考下列问题：(1)直线l过点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，方程的解是否都在直线l上？直线l上的点是否都满足方程？提示：由直线的两点式方程的推导过程可知，方程的解都在直线上；而直线l上的点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)不一定满足直线的方程.
(2)直线的两点式方程能否写成？坐标平面内的直线都能用直线方程的两点式表示吗？提示：不能，因为此时直线不能通过点P(x1,y1).直线的两点式方程必须注意坐标的对应关系.直线方程的两点式成立的前提条件是x1≠x2,y1≠y2，所以直线的两点式方程不能表示与坐标轴平行的直线，即它只能表示斜率存在且不为0的直线.
(3)若直线l上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),满足x1=x2或y1=y2时,直线l的方程是什么?提示：当x1=x2时,直线l平行于y轴,此时的直线方程为x-x1=0或x=x1;当y1=y2时,直线l平行于x轴,此时的直线方程为y-y1=0或y=y1.
【拓展延伸】方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)和原两点式方程的关系(1)两点式方程只能表示x1≠x2且y1≠y2的直线,它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程,但方程形式相对于变化后的方程式更对称、形式更美观、更整齐,便于记忆.(2)如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),那么就可以用它来表示平面上过任意两已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程.
【探究提升】解读直线的两点式方程(1)方程也可写成,两者形式有异但实质相同.(2)当直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为零(y1=y2)时,不能用两点式表示.(3)直线的两点式方程的表示与两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的选取及这两点的顺序无关.
二、直线的截距式方程探究1：观察图象思考下列问题：
(1)根据直线的两点式方程，过点(2,0),(0,3)的直线l的方程为__________.提示：由直线的两点式方程，得直线l的方程为化简得答案：
(2)把直线l上的点“(2,0),(0,3)”改为“(a,0),(0,b)”，能否用两点式写出直线l的方程？提示：当a≠0且b≠0时，直线l的两点式方程为化简得称为方程的截距式方程.当a=0或b=0时，直线l没有两点式方程.
探究2：根据探究1中截距式方程，思考下列问题：(1)a,b的几何意义是什么？提示：a与b的几何意义分别是直线在x轴,y轴上的截距，a是直线与x轴交点的横坐标，b是直线与y轴交点的纵坐标.
(2)过点(a,0),(0,-b)的直线的截距式方程是吗?提示：不是，直线截距式方程的特征是：x,y项的分母对应的是直线的横、纵截距，中间以“＋”号连结，等号右边为1，所以过点(a,0),(0,-b)的直线的截距式方程是
(3)直线方程的截距式与两点式的关系是什么？提示：直线方程的截距式源于两点式，是两点式的特殊情况，当直线l经过点(a,0)与(0,b)两点时，将这两点的坐标代入两点式，得化简得
【探究提升】直线截距式方程的关注点(1)前提：截距式方程应用的前提是a≠0且b≠0.(2)特征：直线的截距式方程，x,y项的分母对应的是直线的横、纵截距，中间以“＋”号连结，等号右边为1.(3)适用范围：不能表示与坐标轴平行的直线，也不能表示过原点的直线.
类型一直线的两点式方程尝试完成下列题目,体会利用两点式求直线方程的步骤,能根据题目中的条件写出直线的两点式方程.1.经过(-3,5),(8,7)两点的直线方程是.2.已知直线l与x轴,y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点为P(4,1),求直线l的方程.
【解题指南】1.利用直线方程的两点式,直接写出直线的方程.2.设出A,B两点的坐标,根据中点坐标公式,找到有关未知数的方程,解得A,B两点的坐标,从而利用两点式得到直线方程.
【解析】1.由两点式方程得：化简得：答案：
2.设点A的坐标为(x,0)，点B的坐标为(0,y)，由线段AB的中点为P(4,1)，所以所以所以点A的坐标为(8,0)，点B的坐标为(0,2)，由直线方程的两点式可得整理得直线l的方程为
【技法点拨】由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标.(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标.(3)由直线的两点式方程写出直线的方程.
【变式训练】已知△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),M是BC边上的中点.(1)求AB边所在的直线方程.(2)求中线AM的直线方程.【解题指南】根据要求直线的特征,(1)用两点式.(2)先求中点坐标,再用两点式.
【解析】(1)由两点式写方程,得即6x-y+11=0.(2)设M的坐标为(x0,y0)，则由中点坐标公式,得故M(1，1)，所以AM的方程为即2x+y-3=0.
类型二直线的截距式方程尝试完成下列题目,总结解决截距式问题时需注意的问题,能根据题目中的条件写出直线的截距式方程.1.直线l过点(1,2),且x轴,y轴上的截距相等,则直线l的方程为.2.直线l过点(-3,3),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程.
【解题指南】1.当直线l在x轴,y轴上的截距为0时，设直线方程为y=kx；当直线l在x轴,y轴上的截距不为0时，设直线方程为.然后由题中的条件得出参数的值从而得出直线的方程.2.由题意可知，直线l在坐标轴上的截距都不为0，可设直线方程为，根据题中的条件得出关于a,b的方程组，从而得出直线方程.
【解析】1.当直线过原点时，设直线的方程为y=kx，由直线过点(1,2)，可得2=1·k，即k=2，所以直线l的方程为y=2x；当直线不过原点时，设直线的方程为，由题意可知所以直线l的方程为即y=-x+3.答案：y=2x或y=-x+3
2.由题意设直线l的方程为，则a+b=12,①又直线l过点(-3,3)，所以 ②由①②解得故所求的直线方程为
【互动探究】若将题2中的“截距之和”改为“截距之积”，求直线l的方程.【解析】由题意设直线l的方程为，可知故所求的直线方程为或即y=-3x-6或y=-x+2.
【技法点拨】解决截距式问题时的关注点(1)直线在两坐标轴上的截距相等，一般有两种情况：直线过原点和直线的斜率是-1.(2)直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，一般有三种情况：直线过原点、直线的斜率为1、直线的斜率为-1.
(3)解决截距问题也可设直线的点斜式方程，利用求直线与坐标轴的交点，得出直线在坐标轴上的截距，要注意截距不等同于距离.提醒：在解决直线的截距问题时，注意考虑直线与坐标轴交于原点，即在坐标轴上的截距为0这一情况.
类型三直线方程的综合应用尝试完成下列题目，体会求直线方程的方法，能根据题目中的条件灵活应用直线的两点式与截距式解决一些综合性问题.1.过点(-1,1),(2,3)的直线在x轴上的截距为_______；在y轴上的截距为_______.2.已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点(6,-2)，求直线l的方程.
【解题指南】1.由直线过点(-1,1),(2,3)，根据两点式写出直线的方程，从而得出直线在x轴,y轴上的截距.2.可利用直线的四种形式之一，设出直线的方程，根据题中的条件找到含有参数的方程，求出参数，从而得出直线的方程.
【解析】1.因为直线过点(-1,1),(2，3)，由直线的两点式得整理得令x=0，得y=，故直线在y轴上的截距为，令y=0，得x=-，故直线在x轴上的截距为-.答案：
2.方法一：设直线l的点斜式方程为y+2=k(x-6)，其中k≠0，令x=0，得y=-6k-2；令y=0，得x=+6，(+6)-(-6k-2)=1，解得k1或k2=-.所以直线l的方程为y+2=-(x-6)或y+2=-(x-6)，即y=-x+2或y=-x+1.
方法二：设直线l的斜截式方程为y=kx+b，令y=0，则x=-，由题意得所以直线l的方程为y=-x+1或y=-x+2.
方法三：设直线l与y轴的交点为(0,b)，则直线l的两点式方程为令y=0，得x=，所以=1+b,解得b1=2或b2=1，所以直线l的方程为y=-x+2或y=-x+1.方法四：设直线l的截距式方程为又直线l过点(6,-2)，所以解得a1=1，a2=2，所以+y=1,或
【技法点拨】求直线方程的方法和注意事项(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率.(2)已知直线的斜率，一般选取直线的斜截式方程，再由其他条件确定直线的截距.(3)已知两点坐标，一般选取直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程.(4)在选用每一种直线方程时，需要注意各自的适用范围，同时对特殊情况下的直线要单独讨论解决.
【变式训练】一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射，通过点B(-1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线的方程.【解析】因为点A(3,2)关于x轴的对称点A′(3,-2)，所以由两点式可得直线A′B的方程为即y=-2x+4，所以反射光线所在的直线的方程为y=-2x+4，同理可得入射光线所在的直线的方程为y=2x-4.
1.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线方程是()C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0【解析】选C.当x1=x2或y1=y2时,A,B错,根据直线的点斜式可知D错,故选C.
2.直线在y轴上的截距是()A.|b|B.－b2C.b2D.±b【解析】选C.根据直线截距式的特点可得.
3.直线过一、二、三象限，则()A.a>0，b>0B.a>0，b
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