第2课时 直线的两点式方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P95～P97，回答下列问题：某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1km和4km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、B两处的距离之和最短．(1)在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A、B能否确定？提示：可以确定．(2)根据上图知建立平面坐标系后，A、B两点的坐标值相当于在x轴、y轴上的什么量？提示：在x轴、y轴上的截距．(3)那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？提示：可以．2．归纳总结，核心必记(1)直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则方程＝，叫做直线l的两点式方程，简称两点式．②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程．(2)直线的截距式方程
①定义：如图所示，直线l与两坐标轴的交点分别是P1(a,0)，P2(0，b)(其中a≠0，b≠0)，则方程为＋＝1，叫做直线l的截距式方程，简称截距式．②说明：一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距．(3)中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则有此公式为线段P1P2的中点坐标公式．[问题思考](1)方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的适用范围相同吗？提示：不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．(2)方程－＝1和＋＝－1都是直线的截距式方程吗？提示：都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)直线的两点式方程是什么？怎样求？ ；(2)直线的截距式方程是什么？怎样求？ ；(3)中点坐标公式是什么？ .
观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：[思考1] 怎样利用点P1，P2的坐标写出直线l的方程？名师指津：可利用两点坐标求出直线的斜率，再利用点斜式求出其方程．[思考2] 给定两点A(x1，y1)，B(x2，y2)是否就可以用两点式写出直线AB的方程？名师指津：不一定．只有在x1≠x2，y1≠y2的前提下才能写出直线的两点式．当x1＝x2时，直线方程为x＝x1；当y1＝y2时，直线方程为y＝y1.所以，直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变形为：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线．[思考3] 直线的两点式方程能用＝(x1≠x2，y1≠y2)代替吗？名师指津：方程＝所表示的图形不含点(x1，y1)，故不能表示整条直线，故不能用其代替两点式方程．讲一讲1．已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(链接教材P96—例4)(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．[尝试解答] (1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，∴由两点式得＝，即2x＋5y＋10＝0.故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．(2)设BC的中点为M(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝＝－3.∴M，
又BC边上的中线经过点A(－3,2)．∴由两点式得＝，即10x＋11y＋8＝0.故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．练一练1．已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．解：∵A(2，－1)，B(2,2)，A、B两点横坐标相同，∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得直线AC的方程为＝，即x－y－3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0.观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：[思考1] 由上述条件能否求出直线的方程？名师指津：结合条件可知直线过点(a,0)，(0，b)，利用两点式可求出直线的方程．[思考2] 怎样理解直线的截距式方程？
名师指津：(1)由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距．(2)由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线．(3)过原点的直线可以表示为y＝kx；与x轴垂直的直线可以表示为x＝x0；与y轴垂直的直线可以表示为y＝y0.讲一讲2．求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．[尝试解答] 法一：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.(1)当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.(2)当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.法二：设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，∴|－4k－3|＝，解得k＝1或k＝－1或k＝－.∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
练一练2．求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．解：由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，直线l的方程为y＝x；当直线l在坐标轴上的截距不为零时，设l的方程为＋＝1，将点(5,2)代入方程得＋＝1，解得a＝，所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.综上知，所求直线l的方程为y＝x，或x＋2y－9＝0.讲一讲3．直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l的方程．[思路点拨] 利用直线方程的截距式列出关于截距的方程组，解方程组即可．[尝试解答] 由题设知，直线l不过原点，且在x轴、y轴上的截距都大于0，设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，则由已知可得①当a≥b时，①可化为解得或(舍去)；当a＜b时，①可化为解得或(舍去)．所以，直线l的方程为＋y＝1或x＋＝1，即x＋4y－4＝0或4x＋y－4＝0.
利用截距求面积(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距的大小，因此，需要进行分类讨论．练一练3．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A(－3,4)，求直线l的方程．解：由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，则|3k＋4|＝3，显然k>0时不成立．解得k1＝－，k2＝－.所以直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.——————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是了解直线方程的两点式的推导过程，会利用两点式求直线的方程，掌握直线方程的截距式，并会应用．难点是直线方程两点式的推导．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求直线的两点式方程的策略，见讲1.(2)直线的截距式方程应用的注意点，见讲2.(3)应用直线截距式方程求面积问题，见讲3.3．本节课的易错点是在截距相等时求直线方程易漏掉直线过原点的情况，如讲2.课下能力提升(十八)
[学业水平达标练]题组1 直线的两点式方程1．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是( )A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0解析：选D 由直线的两点式方程，得＝，化简得x－y－1＝0.2．已知△ABC三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( )A．2x＋y－8＝0B．2x－y＋8＝0C．2x＋y－12＝0D．2x－y－12＝0解析：选A 点M的坐标为(2,4)，点N的坐标为(3,2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0.3．直线l过点(－1，－1)和(2,5)，点(1002，b)在直线l上，则b的值为( )A．2003B．2004C．2005D．2006解析：选C 直线l的方程为＝，即y＝2x＋1，令x＝1002，则b＝2005.4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为( )A．－B．－C.D．2解析：选A 直线方程为＝，化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－.题组2 直线的截距式方程5．(2016·淄博高一检测)过P1(2,0)、P2(0,3)两点的直线方程是( )A.＋＝0B.－＝1C.＋＝1D.－＝1
解析：选C 由截距式得，所求直线的方程为＋＝1.6．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A．1B．－1C．7D．－7解析：选B 直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1.7．直线3x－2y＝4的截距式方程是( )A.－＝1B.－＝4C.－＝1D.＋＝1解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为＋＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．8．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．解：设直线方程的截距式为＋＝1.则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.题组3 直线方程的综合运用9．已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程．解：(1)设点C(m，n)，AC中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，由中点坐标公式得解得∴C点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M、N的坐标分别为M、N
，由直线方程的截距式，得直线MN的方程是＋＝1，即y＝x－.10．三角形的顶点坐标为A(0，－5)，B(－3,3)，C(2,0)，求直线AB和直线AC的方程．解：∵直线AB过点A(0，－5)，B(－3,3)两点，由两点式方程，得＝.整理，得8x＋3y＋15＝0.∴直线AB的方程为8x＋3y＋15＝0.又∵直线AC过A(0，－5)，C(2,0)两点，由截距式得＋＝1，整理得5x－2y－10＝0，∴直线AC的方程为5x－2y－10＝0.[能力提升综合练]1．在y轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为( )A.＋＝1B.－＝1C.＋＝1D.－＝1解析：选B A(2，－1)，B(6,1)的中点坐标为(4,0)，即可设直线的截距式方程为＋＝1，将点(4,0)代入方程得a＝4，则该直线的方程为－＝1.2．已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则 ( )A．若c＞0，则a＞0，b＞0B．若c＞0，则a0，b0；若c>0，则a＜0，b＜0.3．(2016·唐山高一检测)下列命题中正确的是( )A．经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示C．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示D．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示解析：选C A中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x＝x0；B中经过定点A(0，b)的直线x＝0无法用y＝kx＋b表示；D中不经过原点但斜率不存在的直线不能用方程＋＝1表示．只有C正确，故选C.4．两直线－＝1与－＝1的图象可能是图中的( )解析：选B 由－＝1，得到y＝x－n；又由－＝1，得到y＝x－m.即k1与k2同号且互为倒数．5．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．解析：设直线方程为＋＝1，则解得a＝2，b＝3，则直线方程为＋＝1.答案：＋＝16．直线l过点P(－1,2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为________．解析：设A(x,0)，B(0，y)．由P(－1,2)为AB的中点，
∴∴由截距式得l的方程为＋＝1，即2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝07．直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程．解：设直线l的方程为＋＝1，则a＋b＝12.①又直线l过点(－3,4)，∴＋＝1.②由①②解得或故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0.8．一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射后，通过点B(－1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解：如图所示，作A点关于x轴的对称点A′，显然，A′坐标为(3，－2)，连接A′B，则A′B所在直线即为反射光线．由两点式可得直线A′B的方程为＝，即2x＋y－4＝0.同理，点B关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，由两点式可得直线AB′的方程为＝，即2x－y－4＝0，∴入射光线所在直线方程为2x－y－4＝0，反射光线所在直线方程为2x＋y－4＝0.
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