高中数学人教A版必修2 第三章直线与方程 3.2.2直线的两点式方程 课件

2018_2019学年高中数学第三章3.2.2直线的两点式方程课件新人教A版必修23.2.2直线的两点式方程目标导航课标要求1.了解直线方程的两点式的推导过程..2.会利用两点式求直线的方程..3.掌握直线方程的截距式,,并会应用..素养达成通过直线方程的两点式的学习,,锻炼了学生的数形结合思想的养成,,促进数学抽象、数学运算等核心素养的达成..新知探求课堂探究新知探求素养养成点击进入情境导学知识探究1.直线的两点式方程定义::如图所示,,线直线ll点经过点PP11(x11,y11),P22(x22,y22)(中其中xx11xx22,y11yy22),则方程121yyyy--==叫做直线ll的两点式方程,,简称两点式..121xxxx--探究::过两点PP11(x11,y11),P22(x22,y22))的直线是否一定可用两点式方程表示??答案::不一定..(1)若xx11=x22且yy11y22,,则直线垂直于xx轴,,方程为xx--xx11=0或x=x11..(2)若xx11x22且yy11=y22,,则直线垂直于yy轴,,方程为yy--yy11=0或y=y11..(3)若xx11xx22且yy11yy22,,则直线方程可用两点式121yyyy--==121xxxx--表示..2.直线的截距式方程(1)定义::如图所示,,直线ll与两个坐标轴的交点分别是PP11(a,0),P22(0,b)(其中a0,b0),则方程叫做直线ll的截距式方程,,简称截距式..(2)说明::一条直线与xx轴的交点(a,0)的横坐标aa叫做直线在xx轴上的截距..与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式..3.线段PP11PP22的中点坐标公式点若点PP11,P22的坐标分别为(x11,y11),(x22,y22))段且线段PP11PP22点的中点MM的坐标为(x,y),则1212,2.2xxxyyy+ì=ïïí+ï=ïîxa++yb=1自我检测1.((直线两点式方程))过过PP11(2,0),P22(0,3)两点的直线方程是(())(A)3x++2y=0(B)2x++3y=0(C)2x++3y=1(D)2x--3y=1CC2.((直线截距式方程))直线xa++yb1=1过第一、三、四象限,,则(())(A)a0,b0(B)a0,b0(C)a0,b0(D)a0,b0BB3.((直线的截距式方程))经过点(0,--2),且在两坐标轴上的截距和为22的直线方程是(())(A)2x++2y-=1(B)2x-++2y=1(C)4x++2y=1(D)4x--2y=1DD4.((中点坐标公式))已知M(--1,2),N(3,--4),线段MN的中点坐标是..答案::(1,--1)5.((直线两点式方程))经过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是..答案::xx--yy--1=0题型一直线的两点式方程【例11】已知三角形的三个顶点A(--5,0),B(3,--3),C(0,2),求BC边所在直线的方程,,以及该边上中线所在直线的方程..课堂探究素养提升解::如图,,过B(3,--3),C(0,2)的两点式方程为232y---==030x--,,整理得5x+3y--6=0.这就是CBC所在直线的方程..CBC边上的中线是顶点AA与CBC边中点MM所连线段,,由中点坐标公式可得点MM的坐标为((302+,,322-+)),,即((32,,--12))..过过A(--5,0),M((32,,--12))的直线的方程为0102y---==5352x++,,整理得12x+132y+52=0,即即x+13y+5=0,这就是CBC边上中线所在直线方程..方法技巧求直线的两点式方程的策略以及注意点((11))当已知两点坐标,,求过这两点的直线方程时,,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件::两点的连线不垂直于坐标轴,,若满足,,则考虑用两点式求方程..(2)由于减法的顺序性,,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误..在记忆和使用两点式方程时,,必须注意坐标的对应关系..即时训练11--1:若点P(6,m)在过点A(3,2),B(4,3)的直线上,,则m=..解析::因为过点A(3,2),B(4,3)的直线方程为y=x--1,P(6,m)在直线上,,所以66--1=m,即m=5.答案::55【备用例11】一条光线从点A(3,2)出发,,经xx轴反射后,,通过点B(--1,6),求入射光线和反射光线所在的直线方程..解::因为点A(3,2)关于xx轴的对称点为AA(3,--2),所以可得直线AABB的方程为626y---==131x++,,即即2x+y--4=0.同理,,点点B(--1,6)关于xx轴的对称点为BB((--1,--6),由两点式可得直线AB的方程为262y---==313x---,,即即2x--yy--4=0,所以入射光为 线所在直线的方程为2x--yy--4=0,反射光线所在直线的方程为2x+y--4=0.题型二直线的截距式方程【例22】(12分))已知直线ll经过点P(4,3),且在两坐标轴上的截距相等,,求直线ll的方程..规范解答::法一当直线ll过原点时,,它在两坐标轴上的截距都是00..22分设直线方程为y=kx,因为过点P(4,3).所以3=4k,故故k=34..44分所以直线方程为y=34x.66分当直线ll不过原点时,,设直线的截距式方程为xa++ya=1(a0),88分又因为直线过点P(4,3),所以4a++3a=1,所以a=7.010分所以直线方程为7x++7y=1,即即x+y=7.综上,,直线ll的方程为7x+y=7或或y=34x.212分法二设直线ll的斜率为k,则有yy--3=k(x--4).22分令令x=0,得得y=3--4k,令令y=0,得得x=4--3k..66分由直线在两坐标轴上的截距相等,,得得33--4k=4--3k,,解得k=--11或或k=34,,010分所以直线方程为yy--3=--(x--4)或或yy--3=34(x--4).即直线ll的方程为y=--7x+7或或y=34x.212分变式探究::将本例中的截距相等改为截距互为相反数,,如何??解::设直线ll的斜率为k,则有yy--3=k(x--4),令令x=0,得得y=3--4k,令令y=0,得得x=4--3k..由直线在两坐标轴上的截距互为相反数,,则(3--4k)+((44--3k))=0,解得1k=1或或k=34,,所以直线方程为yy--3=x--44或或yy--3=34(x--4),即即y=x--11或或y=34x.方法技巧利用截距式求直线方程的策略(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,,则可考虑选用截距式求直线方程,,用待定系数法确定其系数即可;;(2)选用截距式求直线方程时,,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直..如果题中出现直线在两坐标轴上的截距相等截距互为相反数等条件时,,采用截距式求直线方程,,要注意考虑零截距的情况..即时训练22--1:过A(1,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有条条..解析::一条是截距为0,一条是截距相等((不为0),一条是截距互为相反数((不为0)共三条..答案::33【备用例22】已知直线ll在xx轴上的截距比在yy轴上的截距大11,,且过定点((66,,--22),求直线ll的方程..解::设直线ll在在yy轴上的截距为b,则直线ll在在xx轴上的截距为b+1,所以直线ll的方程为1xb+++yb=1,又直线ll过点(6,--2),所以61b+++2b-=1,得得1b=1或或b=2.所以直线ll的方程为2x1+y=1或3x++2y=1.【备用例33】求过点A(4,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线ll的方程..解::当直线过原点时,,它在xx轴、yy轴上的截距都是0,满足题意..此时,,直线的斜率为12,,所以直线方程为y=12x.当直线不过原点时,,由题意可设直线方程为xa++yb=1,又过点A,所以4a++2b=1①..因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,,所以|a|=|b|②..由①②联立方程组,,解得6,6,ab=ìí=î或2,2.ab=ìí=-î所以所求直线的方程为6x++6y1=1或2x++2y-=1,化简得直线ll的方程为6x+y=6或或xx--y=2.综上,,直线ll的方程为y=12xx或或6x+y=6或或xx--y=2.题型三直线方程的应用【例33】直线过点PP((43,2))且与xx轴、yy轴的正半轴分别交于AA、BB两点O,O为坐标原点,,是否存在这样的直线分别满足下列条件::(1)△BAOB的周长为12;规范解答::(1)存在..设直线方程为xa++yb=1(a0,b0),由题意可知,a+b+22ab+=12.①又因为直线过点PP((43,2)),,所以43a++2b=1,②由①②可得5a22--32a+48=0,解得4,3ab=ìí=î或12,59.2abì=ïïíï=ïî所以所求直线的方程为4x++3y1=1或512x++29y=1,即即3x+4y--012=0或或15x+8y--36=0.(2)△AOB的面积为6.若存在,,求出直线的方程;;若不存在,,请说明理由..规范解答::(2)存在..设直线方程为xa++yb=1(a0,b0),由题意可知12,421,3abab=ìïí+=ïî解得4,3ab=ìí=î或3,6.ab=ìí=î所以所求直线的方程为4x++3y1=1或2x++6y=1,即即3x+4y--012=0或或3x+y--6=0.方法技巧解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时,,一般选择直线方程的截距式,,若设直线在xx轴,y轴上的截距分别为a,b, 则直线与坐标轴所围成的三角形面积为S=12|a||b|,周长c=|a|+|b|+22ab+..即时训练33--1:已知直线ll过点P(4,1),(1)若直线ll过点Q(--1,6),求直线ll的方程;;(2)若直线ll在yy轴上的截距是在xx轴上的截距的22倍,,求直线ll的方程..解::(1)因为直线ll过点P(4,1),Q(--1,6),所以直线ll的方程为161y--==414x---,,即即x+y--5=0.(2)由题意知直线ll的斜率存在且不为0,所以设直线ll的斜率为k,则其方程为为yy--1=k(x--4).令令x=0,得得y=1--4k;令令0y=0得得x=4--1k,,所以11--4k=2((44--1k)),,解得k=14或或k=--2.所以直线ll的方程为yy--1=14(x--4)或或yy--1=--2(x--4),即即y=14xx或或2x+y--9=0.题型四易错辨析忽略过原点的直线【例44】求过点A(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程..错解::由题意知直线的斜率存在且不为0,设直线在两坐标轴上的截距为a,则直线的方程可设为xa++ya=1.由直线过点A(1,2),得1a++2a=1,所以有3a=1,即即a=3.所以满足条件的直线方程为3x++3y=1,即即x+y--3=0.纠错::忽略了过原点的直线也是符合条件的..正解::当直线不过原点时,,解法同错解..当直线过原点时,,直线在两坐标轴上的截距也相等且等于0,直线方程为2x--y=0符合题意..故所求方程为2x--y=0或x+y--3=0.