3.2.2&3.2.3直线的两点式方程直线的一般式方程Uj层析教材，新知无师自通知识点一两点式、截距式［提出问题］某区商业中心。有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东"处，如图所示.公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1km和4km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于/I,〃两处，并使区商业中心0到儿〃两处的距离之和最短.问题1：在上述问题中，实际上解题关键是确定直线力氏那么直线月〃的方程确定后，点人,〃能否确定？提示：可以确定.问题2：根据上图知建立平面坐标系后，A,〃两点的坐标值相当于在/轴、y轴上的什么量？提示：在x轴、y轴上的截距.问题3：那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？提示：可以.［导入新知］直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件口）和几（应，乃），其中xiH疋，y\^yz在x轴上截距a,在y轴上截距b图形y\z0X方程y—yix—x\y2—y\X2—x\_+：=]ab适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂rr•于坐标轴的直线及过原点的直线［化解疑难］1-要注意方程后=后和方程形式不同，适用范围也不同.前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线.后者为整
式形式方程，适用于过任何两点的直线方程.XV2.直线方程的截距式为-+y=bx项对应的分母是直线在％轴上的截距，y项对应的分ab母是直线在y轴上的截距，中间以“+”相连，等式的另一端是1,由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如扌一彳=1，f+f=—1就不是直线的截距式方程.知识点二直线方程的-•般式［提出问题］观察下列直线方程:直线Z：y-2=3a-1）；直线Iny=3x+2；直线?3：y—2%—13—2=4—1；直线A：彳+£=］•问题1：上述直线方程的形式分别是什么？提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式.问题2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax+By+C=O的形式吗？提不:能.问题3：二元一次方程砂+Q0都能表示直线吗？提示:能.［导入新知］1.直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x,y的二元一次方程表75.(2)每个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.2.直线的一-般式方程的定义我们把关于"y的二元一次方程Ax+By+C=O｛其中力，〃不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.［化解疑难］1.求直线的一般式方程的策略⑴当/1H0时，方程可化为/+务+彳=0,只需求彳，彳的值；若狞0,则方程化为务+yCAC+刁=0,只需确定万浄勺值.因此，只要给出两个条件，就可以求岀直线方程.
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.1.直线的一般式转化为其他形式的步骤(1)一般式化为斜截式的步骤①移项得By=—Ax—C；AC②当狞0吋，得斜截式：y=(2)--般式化为截距式的步骤①把常数项移到方程右边，得Ax+By=-C；AXRi/②当QHO时，方程两边同除以一GW—+—=1;XV③化为截距式：—+^,=1.~A~B由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.rm利用两点式求直线方程锁定考向，考题千变不离其宗［例1］三角形的三个顶点是水一1,0),〃(3,-1),6X1,3),求三角形三边所在直线的方程.［解］由两点式，直线弭〃所在直线方程为总-1%—3-1-3,即x+4y+l=0.同理，直线力所在直线方程为三即2%+y-5=0.y—3x—1直线弭C所在直线方程为匕=可二p即3x—2y+3=o.［类题通法］求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.
［活学活用］1.已知直线经过点/1(-3,一1)和点〃(3,7),则它在y轴上的截距是答案：32.若点P(3,刃)在过点畀(2,-1),＞9(-3,4)的直线上，则刃=.答案：一2直线的截距式方程及应用［例2］直线/过点/£,2)且与/轴、y轴的正半轴分别交于〃，〃两点，0为坐标原(1)当的周长为12时，求直线/的方程.(2)当加的面枳为6时，求直线/的方程.［解］(1)设直线/的方程为彳+彳=1(臼＞0,方＞0),由题意知，$+方+寸扌+比=12.又因为直线/过点石，2)42所以丁+丁=1，即5/—32白+48=0,3臼b12解得仏=3所以直线/的方程为3%+4y—12=0或15%+8y-36=0.XV⑵设直线/的方程为一+；=1(日＞0,b＞0),ab42rfl题意知，日0=12,—+y=bSab消去b,得才一6日+8=0,解得日1=4,方1=3所以直线/的方程为3x+4y—12=0或3x+y—6=0.［类题通法］用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与丸轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较
方便.(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式.(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为冬.在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程屮要注意分类讨论.［活学活用］求经过点水一2,2),并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程.解:设直线在/轴、F轴上的截距分别是0b,则有$=扣•=1.XV:.ab=±2.设直线的方程是一+；=1・ab—29•••直线过点(一2,2)，代入直线方程得一+7=1,ab2a|・・・“=忌=土2.2$=—2时，化简得a+&+2=0,丿了程无解;化简得a~a—2=0,解得a=—\,日=2,b=—2,b=l.•••直线方程是•土+士=1或汁1,即2x+y+2=0或x+2y—2=0.直线方程的一般式应用［例3］(1)已知直线厶：2x+(/7?+1)y+4=0与直线厶：mx+3y—2=0平行，求刃的值;(2)当a为何值时,直线人(a+2)x+{\-a)y~1=0与直线厶：(爲_1)卄(2卄3)y+2=0互相垂直?［解］(1)法一：由人2x+(zz7+l)y+4=0,Jz：z»x+3y—2=0,①当/〃=0时，显然厶与＜2不平行.②当刃H0时，厶〃厶，去2/zz+l4希—=~q~H•m3—z解得/〃=2或加=—3..•・/〃的值为2或一3.法二：令2X3=〃/S+1），解得也=—3或m=2.当/〃=—3时，71：%—y+2=0,?2：3x—3y+2=0,
显然人与＜2不重合，•：厶〃，2.同理当刃=2时，71：2x+3y+4=0,,2：2x+3y—2=0,厶与不重合，1\//』2,••m的值为2或一3.（2）法一：由题意，厶丄厶，①若1—日=0,即a=\时，直线厶：3^-1=0与直线Z：5y+2=0,显然垂直.3②若2日+3=0,即a=—㊁时，直线人：x+5y—2=0与直线,2：5%-4=0不垂直.7_i_2—1③若1一日工0,且2日+3H0,则直线厶，厶的斜率怡，厶都存在，k\=_=（心=一打两,当/i±72时，k\・心=一1,即（_简•（—磊）=_1'所以&=_1.综上可知，当臼=1或日=一1时，厶丄？2・法二：由厶丄丿2,所以（自+2）（a—1）+（1—a）（2白+3）=0,解得曰=±1.将日=±1代入方程，均满足题意.故当日=1或日=—1时，直线厶丄厶.［类题通法］1.直线厶:加+3y+G=0,直线丿2：A?.x+R.y+G=0.（1）若1、〃WARfBE且BG—BgO（或昇1一川0工0）.（2）若厶丄厶台川怡+$$=0.2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=06）,与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx—AyH.［活学活用］⑴求与直线3x+4y+l=0平行且过点（1,2）的直线1的方程；（2）求经过点水2,1）且与直线2x+y—10=0垂直的直线1的方程.
解：(1)法一：设直线/的斜率为3•・・/与直线3/+4y+l=0平行，k=--又・・•/经过点(1,2),可得所求直线方程为y—2=3—玄匕一1),即3/+4y—11=0.法二：设与直线3卄4y+l=0平行的直线1的方程为3/+U+〃尸0.・・・/经过点(1,2),•••3X1+4X2+刃=0,解得〃/=一11.・・・所求直线方程为3卄4y—11=0.(2)法一：设直线/的斜率为化•・•直线/与直线2^+y-10=0垂直，:・k•(—2)=—1,•■-A=l-又•・•/经过点水2,1),・••所求直线1的方程为7-1=^(%-2),即x—2y=o.法二：设与直线2^+y-10=0垂直的直线方程为^-2y+/77=0.・・•直线Z经过点水2,1),.•.2-2Xl+/77=0,…刃=0・•:所求直线1的方程为X—2尸0.修补短板.拉分题一分不丢多鉴3.探究直线在坐标轴上的截距问题［典例］求过点弭(久2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线1的方程.［解］当直线过原点时，它在/轴、y轴上的截距都是0,满足题意.此时，直线的斜率,所以直线方程为尸Xv42当直线不过原点时，由题意可设直线方程为尹A1,又过点所以尹戶⑪因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|引=丨引②.曰=6,%=2,由①②联立方程组，解得仁「或，cZ?=6,b=—2.
*•所以所求直线的方程为春+彳=1或号+士=1,化简得直线1的方程为%+y=6或x—y=2.综上，直线/的方程为尸*¥或x+y=6或x—尸2.［多维探究］1.截距相等问题求过点昇(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线7的方程.解：①当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0,满足题意，此时直线斜率为*,所以直线方程为②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为XV一+-=1,又过力(4,2),aa••臼=6,・：方程为x+y—6=0.综上，直线方程为y=苏或x+y—6=0.2.截距和为零问题求过点水4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线1的方程.解：①当直线过原点时，它在才轴、y轴上截距都是0,满足题意，此时直线斜率为*,所以直线方程为y=\x.②当直线不过原点时，由题意可设直线方程^—=1.又过力(4,2),aa4—2•••=1,即4=2,:.x-v=2.a综上，直线1的方程为尸》或L尸2.3.截距成倍数问题求过点水4,2)且在;v轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线/的方程.
解:①当直线过原点时，它在才轴、y轴上截距都是0,满足题意，此时直线斜率为*,所以直线方程为XV42②当直线不过原点时，由题意可设直线方程^+~=1，又直线过力(4,2),所以—+-=ciC50,则仪>0,方>0B.若c>0,则*0,方>0C.若c0答案：D
1.已知直线厶Ax+By+C=d^〃不同时为0),点P(x。,必)在/上，则/的方程可化为()A.A(x+xo)+B(y+必)+0=0B.A(x+xo)+B(y+y^)=0C.却)+〃(y—沟)+*0D・A(x—x(>)+B(y—To)=0答案：D2.若直线x+2ay—1=0与(^―1)^—ay+l=0平行，则&的值为()11(、A.-B.㊁或0C・0D.一2答案：A二、填空题3.若直线1\：”+(1—臼”=3与Z2：@—l)x+(2z?+3)y=2互相垂直，则实数&=答案：1或一34.垂直于直线3x—4y—7=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在/轴上的截距是.答案：3或一35.过点P(2,-1),在x轴、y轴上的截距分别为臼，方，且满足臼=3方的直线方程为答案：x+3y+1=0或x+2y=0三、解答题6.已知在△肋C屮，点儿〃的坐标分别为(-1,2),(4,3),M的屮点於在y轴上，BC的中点/V在/轴上.(1)求点Q的坐标；(2)求直线沏V的方程.解：⑴设点C(/〃，刀)，胚的中点〃在y轴上，力的屮点川在x轴上，由屮点坐标公式得m—1=0,'z?+3=o,解得m=l,a—_3.
・••点C的坐标为(1,-3).I5(2)由⑴知，点必艸的坐标分别为加，一勺週0,由直线方程的截距式，得直线MN的方程是£+〜=1,即y=gv—gb1b2221.设直线/的方程为(白+1)x+y+2—$=0(臼WR)・(1)若/在两坐标轴上的截距相等，求/的方程；(2)若/不经过第二彖限，求实数日的取值范围.解：(1)当日=一1时，直线/的方程为y+3=0,不符合题意；7—2当甘一1时，直线/在/轴上的截距为十，在y轴上的截距为日一2,因为/在两坐标轴上的截距相等，“—9所以話门=日一2,解得日=2或a=0,所以直线1的方程为3卄y=0或卄尸+2=0.—日+1>0,(2)将直线1的方程化为尸=一(曰+1)/+日一2,所以或日一2W0—臼+1=0,日一2W0,解得曰W—1.综上所述，实数日的取值范围是{引日冬一1}.
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