解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.2第2课时直线方程的两点式和一般式学案北师大版必修2

第2课时 直线方程的两点式和一般式1.掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化.(重点)2.了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系.(难点)[基础·初探]教材整理1 直线方程的两点式阅读教材P67“练习1”以下至“例5”以上部分，完成下列问题.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上的任意两点.1.两点满足的条件：x1≠x2且y1≠y2.2.形式：＝.过点A(5,6)和点B(－1,2)的直线方程的两点式是(  )A.＝B.＝C.＝D.＝【解析】 代入两点式方程，得＝，故B正确.【答案】 B教材整理2 直线方程的截距式阅读教材P67“例5”以下至P68“抽象概括”以上部分，完成下列问题.1.形式：＋＝1.2.a，b的几何意义：a为直线在x轴上的截距；b为直线在y轴上的截距.已知直线l与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线l的方程为________.【解析】 由直线方程的截距式，得＋＝1.7 【答案】 ＋＝1教材整理3 直线方程的一般式阅读教材P68“抽象概括”以下至“例6”以上部分，完成下列问题.关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)表示.(  )(2)直线方程的特殊形式都可以转化为直线方程的一般式，但一般式不一定能转化为每一种特殊形式.(  )(3)直线的一般式方程有A，B，C三个系数，所以需要由三个已知条件才能确定直线的一般式方程.(  )(4)直线的一般式方程中直线的斜率为－.(  )【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)×[小组合作型]直线方程的两点式和截距式方程 求满足下列条件的直线方程.(1)过点A(－2,3)，B(4，－1)；(2)在x轴、y轴上的截距分别为4，－5；(3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等.【精彩点拨】 (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式；(2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点两种情况考虑.【自主解答】 (1)由两点式得＝，化简得2x＋3y－5＝0.(2)由截距式得＋＝1，化简为5x－4y－20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x－2y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1.7 因为直线过点P(2,3)，所以＝1，即a＝5.直线方程为＋＝1.所以所求直线方程为3x－2y＝0或＋＝1.1.已知直线上的两点坐标.应验证两点的横坐标不相等，纵坐标也不相等后，再用两点式方程，也可先求出直线的斜率，再利用点斜式求解.2.若已知直线在x轴，y轴上的截距(都不为0)，用截距式方程最为方便.[再练一题]1.(1)直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________；(2)过点(0，－3)和(2,0)的直线的截距式方程为________；(3)过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________.【解析】 (1)将(－1,2)和(2,5)代入＝，得＝，即＝.(2)因为直线在x轴，y轴上的截距分别为2，－3，由直线方程的截距式，得方程为＋＝1.(3)设方程的截距式为＋＝1，则由题意得解得所以直线方程为＋＝1.【答案】 (1)＝ (2)＋＝1 (3)＋＝1直线方程的一般式 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值.(1)l在x轴上的截距是－3；(2)l的斜率是－1.【精彩点拨】 可根据所求的结论把一般式转化为其他形式.【自主解答】 (1)由题意可得由①得m≠－1且m≠3，7 由②得m＝－或m＝3，∴m＝－.(2)由题意得由③得m≠－1且m≠，由④得m＝－2或m＝－1，∴m＝－2.1.一般式化为斜截式的步骤：(1)移项得By＝－Ax－C；(2)当B≠0时，得斜截式：y＝－x－.2.一般式化为截距式的步骤：方法一：(1)把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；(2)当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；(3)化为截距式：＋＝1.方法二：(1)令x＝0求直线在y轴上的截距b；(2)令y＝0求直线在x轴上的截距a；(3)代入截距式方程＋＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，不会将一般式化为两点式和点斜式.[再练一题]2.下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(  )A.3x＋4y＋7＝0B.4x＋3y＋7＝0C.4x＋3y－42＝0D.3x＋4y－42＝0【解析】 将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B，C两项.7 又y＝－x＋14过点(0,14)，即直线过第一象限，所以只有B项正确.【答案】 B[探究共研型]直线方程的综合应用探究1 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0，能否得不论a为何值，直线l总经过第一象限？【提示】 将直线l的方程整理为y－＝a，∴直线l过点A，而点A在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限.探究2 上述问题中，为使直线不经过第二象限，如何求a的取值范围.【提示】 要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，即令x＝0时，y＝－≤0，∴a≥3. 已知直线l：＋＝1.(1)若直线的斜率是2，求m的值；(2)若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，求此直线的方程.【导学号：39292077】【精彩点拨】 (1)将直线方程转化为斜截式，利用斜率为2列方程求m.(2)先表示出三角形的面积，利用二次函数求最值.【自主解答】 (1)直线的斜截式方程为y＝·x＋4－m.令1－＝2，解得m＝－4.(2)由题意得解得0＜m＜4.又三角形的面积S＝×m×(4－m)＝－(m－2)2＋2，∴当m＝2时，直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，此时直线方程为x＋y－2＝0.7 截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便，同时在利用截距求三角形的面积时，要注意截距的正负.[再练一题]3.求过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b且满足a＝3b的直线方程.【解】 (1)当a＝0，b＝0时，直线过原点，符合题意，此时直线方程为y＝－x.(2)当直线不过原点时，可设直线方程为＋＝1(ab≠0)，即＋＝1，又因为直线过点P(2，－1)，所以＋＝1，解得b＝－，故所求直线方程为＋＝1，即x＋3y＋1＝0.综上，所求直线方程为x＋3y＋1＝0或y＝－x.1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为(  )A.y＝x＋3B.y＝－x＋1C.y＝x＋2D.y＝－x－2【解析】 代入两点式得直线方程＝，整理得y＝x＋3.【答案】 A2.斜率为－3，且在x轴上截距为2的直线方程是(  )A.3x＋y＋6＝0B.3x－y＋2＝0C.3x＋y－6＝0D.3x－y－2＝0【解析】 由点斜式得y＝－3(x－2)，化为一般式得3x＋y－6＝0.【答案】 C3.若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________.【导学号：39292078】【解析】 若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0，解方程组得m＝－3，7 所以m≠－3时，方程表示一条直线.【答案】 m≠－34.已知直线方程5x＋4y－20＝0，则此直线在x轴上截距为________，在y轴上截距为________.【解析】 将方程5x＋4y－20＝0化为截距式为＋＝1，∴在x轴，y轴上的截距分别为4,5.【答案】 4 55.求过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.【解】 ①若直线过原点，则k＝－，∴y＝－x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点，设＋＝1，即x＋y＝a.∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.故直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.7