高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程 练习题

直线方程练习题-直线的一般式方程直线的一般式方程3.2.3直线的一般式方程灌口中学吴清平2007年5月26日一、教学目标1、知识与技能（1）探索并掌握直线方程一般式的形式特征；（2）掌握直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间的互化的方法；（3）了解在直角坐标系中，平面上的直线与x、y的一次方程是一一对应的。 2、过程与方法通过直角坐标系中直线与二元一次方程对应关系的探究，体会直线的一般式与平面上直线的关系，学会用分类讨论的思想方法解决问题。3、情感态度与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。二、教学重点、难点：重点：直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间互化的方法；难点：平面上的直线与x、y的一次方程的一一对应关系。三、教材分析：1、提示概念内涵，反映客观事物的本质属性（1）联系旧知识，引入新概念；——回顾直线方程的特殊形式，说明它们都具有局限性，通过扩大概念的外延，引出新概念：一般式。（2）充分用课本，剖析新概念；——“讲授新课”一段，分两个方面，每方面又分两种不同情况进行讨论；教学过程中又适当借助图形，最后得出“平面上的直线与二元一次方程一一对应” 的结论。（3）设计小例题，强化新概念；——例1具体地说明了直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点；例2除了说明一般式化斜截式，由已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法，强化这堂课的新概念外，也重温了前面所学过的知识——由方程如何画直线。2、进行概念教学，注意运用数学方法，培养学生能力（1）抓住课题是字母系数方程的机会，进行“两分法”教学，培养全面、系统、周密地讨论问题的能力；（2）抓住“特殊式”与“一般式”在一定条件下可以互化，在解题中可以培养多向思维的能力。四、教学过程（一）复习引入：1、直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的互相转化：练习1：由下列条件，写出直线的方程：（1）经过点A（8，– 2），斜率是-12；（y+2=-12(x-8)）（2）经过点B（4，2），平行于x轴；（y–2=0）（3）经过点P1（3，–2），P2（5，–4）；（32y-(-2)-4-(-2)x32+y-3= x-35-3）（4）在x轴，y轴上的截距分别为，–3。（=1）2、直线方程的几种形式：思考：以上方程有什么共同的特点？（二）讲授新课：1、直线与二元一次方程的关系：问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？对直线的倾斜角α进行讨论：①当a¹90°时，直线斜率为k=tana，其方程可写成：y=kx+b，可变形为：Ax+By+C=0，其中：A=k，B=–1，C=b；A、B②当a=90°时，直线斜率不存在，其方程可写成x=x1也可以变形为：Ax+By+C=0，其中：A=1，B=0，C=x1。 （如图）结论1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于xAx+By+C=0（A、B不同时为零）来表示。问题2：每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线吗？对B分两种情况进行讨论：①当B¹0时，Ax+By+C=0可化为：y=-在y轴上的截距为b=-CBABx-CB，它表示斜率为k=- AB，的直线；CA②当B=0时，则A¹0，Ax+By+C=0可化为x=-或重合（C=0）的直线。，表示与y轴平行（C¹0）结论2：任何关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为零）都可以表示平面直角坐标系中的一条直线。2、直线的一般式方程：把关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为零）叫做直线的一般式方程，简称一般式。注：（ⅰ）在平面直角坐标系中，表示任何一条直线的方程都是关于x、y的一次方程；反之，每一个关于x、y的一次方程都表示直角坐标系中的一条直线。（ⅱ ）直线方程的特殊形式与一般形式可以互相转化。3、探究：在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y轴重合。说明：引导学生从直线与方程的一一对应关系去探究。4、练习2：把练习1中的直线方程化成一般式方程。（三）例题剖析：例1、已知直线经过点A(6,-4)，且斜率为-解：点斜式方程：y+4=-4343，求直线点斜式和一般式的方程：(x-6)；（2）一般式方程：4x+3y-12= 0；例2、把直线l的一般式方程x–2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。解：将直线l的一般式方程化成斜截式y=轴上的截距是3。在直线l的方程x–2y+6=0中，令y=0，得x=–6，即直线在x轴上的截距是–6。由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A（–6，0），B（0，3），过点A、B作直线，就得直线l的图形（如图）。注：求截距可以引导学生把一般式化为截距式，再由截距式观察而得。（四）课堂练习：课本P110，练习第2、3题。（五）归纳总结1、我们学到了什么？（1）通过对直线方程的各种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：Ax+By+C=0（A、B不同时为零）12x+3，因此，直线的斜率k= 12，它在y（2）通过直线方程的一般式与特殊式的互化与解题，进一步理解直线方程解集和直线上点集的一一对应关系，从而概括出互推关系：点(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上ÛAx0+By0+C=02、数学思想方法：分类讨论思想、数形结合思想。（六）布置作业：课本P110，习题3.2[A组]第10、11题。（七）教学反思：直线方程的一般形式Xupeisen110 高中数学一、教学目标(一)知识教学点掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比．(二)能力训练点通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力．(三)学科渗透点通过对直线方程的几种形式的特点的分析，二、教材分析1有直线的一般式能表示所有的直线，2．难点：与重点相同．3方程是同解方程．三、活动设计分析、启发、讲练结合．四、教学过程(一)引入新课点斜式、斜截式不能表示与xx轴垂直的直线可表示成x=x0，与xy=y0。它们都是二元一次方程．(二)α．当α≠90°时，直线有斜率，当α =90x=x0的形式．样，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程．反过来，对于x、y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0．(1)其中A、B不同时为零．(1)当B≠0时，方程(1)可化为Xupeisen110高中数学 这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云．(2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程(1)可化为它表示一条与y轴平行的直线．这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式． (三)例题解：直线的点斜式是化成一般式得．12，就得到截距式 (1)直线的点斜式、两点式方程由于给一步化简；(2)无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留．例2把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图．解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：Xupeisen110高中数学x=-6根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这 两点连直线就是所要作的图形(图1-28)．本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线．例3证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上．证法一直线AB的方程是：化简得y=x+2．将点C的坐标代入上面的方程，等式成立．∴A、B、C三点共线．∴A、B、C三点共线． ∵∴A、C、C例4直线与过A(1，3)、B(5，2)的直线相交于C，此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C的坐标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些．如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求λ，则计算量要小得多．Xupeisen110 高中数学代入x+2y-10=0有：解之得λ=-3．(四)课后小结(1)归纳直线方程的五种形式及其特点．(2)例4一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，(或曲线)求得．五、布置作业1．(1．6练习第1题) (2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(5)经过两点P1(3，-2)、P2(6)x轴上的截距是-7解：(1)x+2y-4=0；(3)2x+1=0；(4)2x-y-3=0；(6)x-y+7=0．3．(习题二第8题)一条直线和y轴相交于点P(0，2)，它的倾斜角Xupeisen110高中数学 4．(习题二第十三题)求过点P(2，3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程．5．(习题二第16题)设点P(x0，y0)在直线As+By+C=0程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0．证明：将点P(x0，y0)的坐标代入有C=-Ax0-By0C即有A(x-x0)+B(y-y0)=0． 6．过A(x1，y1)、B(x2，y2)的直线交直线lC，六、板书设计323直线的一般式方程教案3．2．3直线的一般式方程教案教材分析：（1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显．教学中各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬．（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程” 打下基础．直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证．教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点（3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解．教学目标：1、知识与技能：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；2、过程与方法：⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。⑵ 学会分类讨论及掌握讨论的分界点；3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识重点：直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的理解难点：⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。教学方法：引导探究法、讨论法教学过程：一．创设情境，引入新课：1、复习：写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：2、问题一：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？（这些方程都是关于x、y的二元一次方程）猜 测：直线和二元一次方程有着一定的关系。二．新课讲授：1、探究直线和二元一次方程的关系：问题二①：平面内任意一条直线是否都可以用形如Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的方程来表示？【板书：】在平面直角坐标系中，每一条直线在斜率k存在和k不存在两种情况下，直线方程可分别写为y=kx+b和x= x1两种形式，它们又都可以变形为Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的形式，即：直线Ax+By+C=0（A、B不同时为0）【结论：Ax+By+C=0（A、B不同时为0）来表示。问题二②：方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）是否可以表示平面内任意一条直线？三．知识的应用例1．直线方程Ax+By+C= 0，A、B、C满足什么条件时，方程表示的直线（1）平行于在x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y轴重合；（5）与x轴y轴都相交；（6）直线在两坐标轴上的截距相等；（7）直线过一、二、三象限。例2．根据下列条件，写出直线的方程，并把它写成一般式1；（2）经过点(3,-2),(5,-4)；23（3）在x轴和y轴的截距分别为,-3；（4）经过点(3,0)，且与直线2x+y-5=0垂直；2例3．三角形三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,3)（1）经过点(8,-2)，斜率为-（1）求BC边上高所在的直线的方程；（2）求BC边上的中线所在的直线方程；（3）求BC边的垂直平分线所在的直线方程。三．自我测试1．已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-4，求直线的点斜式方程和一般式方程 32．把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形3．平面直角坐标系中，直线x++2=0的倾斜角为（）2p5ppp（A）（B）（C）（D）366314．直线y=ax-的图象可能是（）a已知（A）直线+Ax（BBy）+C（C）（D）（1）当B¹0时，直线l的斜率是多少？当B=0呢？（2）系数A,B,C取什么值时，方程Ax+By+C= 0表示过原点的直线？5．直线=0y=k(x-4)必过定点________________；当A+B+C=0时，直线Ax+By+C=0必通过定点____________。6．一根弹簧，挂4N的物体时，长为20cm，在弹性限度内，所挂物体的重量每增加1N，弹簧就伸长1.5cm。则弹簧的长度l（cm）与所挂物体重量G（N）之间关系的方程是____________________3.2.3直线的一般式方程导学案………………………………………装………………………………………订………………………………………线……………………………………、3.2.3 直线的一般式方程【考纲要求】掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.【学习目标】1.掌握直线方程一般式的形式特征，理解直线方程和二元一次方程的关系；2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距.3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.【学习重难点】重点：直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间互化的方法.难点：直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间互化的应用.【学习过程】一、了解感知1.二元一次方程的一般形式：Ax+By+C=0（A,B不同时为0）2.直线方程的几种形式：①点斜式：③两点式：.②斜截式：.④截距式：。..以上四种形式的直线方程都是关于x，y的对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0），当B¹0时，方程可变形为.它表示过点,斜率为,表示一条和y 轴垂直或者的直线.当B=0时，直线方程可化为平行的直线.由上可知，关于x,y的二元一次方程，它都表示一条直线.我们把关于x,y 的二元一次方程：般式方程，简称一般式。叫做直线的一结论1：平面上任何一条直线都可以用一个关于关于x，y的二元一次方程表示。结论2：每一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（A,B不同时为0）都表示一条直线。思考1方程Ax+By+C=0（A,B不同时为0）表示的直线中①时，直线平行于x轴；②第1页共4页时，直线平行于y轴；、③⑤ 二、深入学习时，直线与x轴重合；④时，直线过原点。时，直线与y轴重合；例1已知直线经过点A（6，-4），斜率为-在x轴与y轴上的截距，并画出图形。4，求直线的点斜式和一般式方程，以及3例2：根据下列条件，写出直线方程，并化成一般式（1）过点A（4，2），平行于x 轴（2）过点A（3，-2），B（5，-4）(3)在x轴和y轴上的斜距分别为3，-32第2页共4页、例3已知直线方程为.ax+(a-2)y+3+a=0，求满足下列条件a的值（1）直线与x轴平行，（2）直线与y 轴平行，（3）直线过原点三、迁移应用例4.已知直线l的方程为3x+4y-12=0（1）求与直线l平行且过点（-2，3）的直线方程；（2）过点（-2，3）与l垂直的直线方程.规律总结：(1)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0）平行的直线方程可设为：Ax+By+D=0(2)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0）垂直的直线方程可设为：Bx-Ay+D=0第3页共4 页、例5.已知直线l1:ax+3y+1=0与l2:x+(a-2)y+a=0(1)若l1//l2,求a的值;(2)若l1⊥l2,求a的值;规律总结：直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0（1）l1//l2ÛA1B2-A2B1=0且两天直线不重合；（2）l1^l2ÛA1A2+B1B2=0【课堂检测】1.若直线3x+2y-6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（323A.k=-，b=3B.k=-，b=-3C.k=-，b=-32322.已知ab