高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程 教案

3.2.3直线的一般式方程（教学设计）教学目标1、知识与技能（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式，会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；2、过程与方法学会用分类讨论的思想方法解决问题,经历直线各种方程形式之间的转化过程.3、情感、态度与价值观教学重点、难点：1、重点：掌握直线方程的一般式及其它形式之间的转化.2、难点：直线方程一般式的应用.教学过程一、复习回顾点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。它们都是二元一次方程．我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：y=kx+b当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的形式．由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程．二、师生互动，新课讲解：1.探究直线的一般式方程设问：（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于x,y的二元一次方程AxByC0（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。为此要对B分类讨论，即当B0时和当B=0时两种情形进行变形。然后由学生去变形判断，得出结论：关于x,y的二元一次方程，它都表示一条直线。精品学习资料可选择pdf第1页，共4页----------------------- 教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示；同时，任何一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线。我们把关于关于x,y的二元一次方程AxByC0（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（generalform）.概念辨析：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.具体地，在方程AxByC0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y重合.使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响.4例1（课本P98例5）已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.3解：直线的点斜式是化成一般式得4x+3y-12=0．把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留．使学生体会把直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点.变式训练1：（课本P99练习NO：1）例2（课本P99例6）把直线l的一般式方程x2y60化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：精品学习资料可选择pdf第2页，共4页----------------------- x=-6根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形．本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线．使学生体会直线方程的一般式化为斜截式，和已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法.变式训练2：（课本P99练习NO：2；3）例3：(tb1806404)求证:m为任意实数时，直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5通过某一定点。变式训练3：(tb1907808)已给直线L：kx-y+1+2k=0(kR)，求证：直线L过定点；例4：求直线x+2y-1=0关于y=x对称的直线方程。变式训练4：求直线x-3y-5=0关于y=x-1对称的直线方程。三、课堂.小结，巩固反思：（1）请学生归纳直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。（2）师生讨论比较各种直线方程的形式特点和适用范围。（3）求直线方程应具有多少个条件？（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？四、课时必记：1、求直线方程的最终结果都必须化为一般式：AxByC02、会求直线关于斜率为1的对称轴对称的直线方程。3、直线方程的五种形式。精品学习资料可选择pdf第3页，共4页----------------------- 五、布置作业A组：1、（课本P100习题3.2A组NO：10）2、（课本P100习题3.2A组NO：11）3、已知直线l在x轴上的截距比y轴上的截距大1，且过一定点P（6，-2），求直线l的方程。4、求直线2x-3y-4=0关于直线x+y-2=0对称的直线方程。B组：1、（课本P100习题3.2B组NO：2）2、（课本P100习题3.2B组NO：3）3、（课本P100习题3.2B组NO：4）精品学习资料可选择pdf第4页，共4页-----------------------