高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程 教案
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高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程 教案

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时间:2022-08-17

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资料简介
 直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)都表示直线,且直线方程都可以化为Ax+By+C=0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点 直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程;任何关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax+By+C=0,当B≠0时,其斜率为-,在y轴上的截距为-;当B=0时,在x轴上的截距为-;当AB≠0时,在两轴上的截距分别为-,-.3.直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x,y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.思考 (1)当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0表示什么?(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗?答 (1)当C=0时,方程对任意的x,y都成立,故方程表示整个坐标平面;当C≠0时,方程无解,方程不表示任何图象.故方程Ax+By+C=0,不一定代表直线,只有当A,B不同时为零时,即A2+B2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B=0时,直线的斜率不存在,不能化成其他形式;当C =0时,直线过原点,不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一 直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中,斜率为-,且不经过第一象限的是(  )A.3x+4y+7=0B.4x+3y+7=0C.4x+3y-42=0D.3x+4y-42=0(2)直线x-5y+9=0在x轴上的截距等于(  )A.B.-5C.D.-3答案 (1)B (2)D解析 (1)将一般式化为斜截式,斜率为-的有:B、C两项.又y=-x+14过点(0,14)即直线过第一象限,所以只有B项正确.(2)令y=0则x=-3.跟踪训练1 一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,求此直线方程.解 设所求直线方程为+=1,∵点A(-2,2)在直线上,∴-+=1.①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1, ∴|a|·|b|=1.②由①②可得或解得或第二个方程组无解.故所求直线方程为+=1或+=1,即x+2y-2=0或2x+y+2=0.题型二 直线方程的应用例2 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l′的方程:(1)过点(-1,3),且与l平行;(2)过点(-1,3),且与l垂直.解 方法一 l的方程可化为y=-x+3,∴l的斜率为-.(1)∵l′与l平行,∴l′的斜率为-.又∵l′过点(-1,3),由点斜式知方程为y-3=-(x+1),即3x+4y-9=0.(2)∵l′与l垂直,∴l′的斜率为,又l′过点(-1,3),由点斜式可得方程为y-3=(x+1),即4x-3y+13=0. 方法二 (1)由l′与l平行,可设l′的方程为3x+4y+m=0.将点(-1,3)代入上式得m=-9.∴所求直线的方程为3x+4y-9=0.(2)由l′与l垂直,可设l′的方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.∴所求直线的方程为4x-3y+13=0.跟踪训练2 a为何值时,直线(a-1)x-2y+4=0与x-ay-1=0.(1)平行;(2)垂直.解 当a=0或1时,两直线既不平行,也不垂直;当a≠0且a≠1时,直线(a-1)x-2y+4=0的斜率为k1=,b1=2;直线x-ay-1=0的斜率为k2=,b2=-.(1)当两直线平行时,由k1=k2,b1≠b2,得=,a≠-,解得a=-1或a=2.所以当a=-1或2时,两直线平行.(2)当两直线垂直时,由k1·k2=-1,即·=-1,解得a=.所以当a=时,两直线垂直.题型三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3 (1)若方程(m2+5m+6)x+(m2+3m)y+1=0表示一条直线,则实数m满足______.(2)当实数m为何值时,直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1. ①倾斜角为45°;②在x轴上的截距为1.(1)答案 m≠-3解析 若方程不能表示直线,则m2+5m+6=0且m2+3m=0.解方程组得m=-3,所以m≠-3时,方程表示一条直线.(2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°,所以此直线的斜率是1,所以-=1,所以解得所以m=-1.②因为已知直线在x轴上的截距为1,令y=0得x=,所以=1,所以解得所以m=-或m=2.跟踪训练3 已知直线l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;(2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围.(1)证明 直线方程变形为y-=a, 它表示经过点A,斜率为a的直线.∵点A在第一象限,∴直线l必过第一象限.(2)解 如图所示,直线OA的斜率k==3.∵直线不过第二象限,∴直线的斜率a≥3.∴a的取值范围为[3,+∞).一般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y-(2m-6)=0,若此直线的斜率为1,试确定实数m的值.分析 由直线方程的一般式,可转化为斜截式,利用斜率为1,建立方程求解,但要注意分母不为0.解 由题意,得由①,得m=-1或m=.当m=-1时,②式不成立,不符合题意,故应舍去;当m=时,②式成立,符合题意.故m=. 1.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A、B应满足的条件为(  )A.A≠0B.B≠0C.A·B≠0D.A2+B2≠02.已知ab0,B>0,C=0C.AB0,C=04.直线ax+3my+2a=0(m≠0)过点(1,-1),则直线的斜率k等于(  )A.-3B.3C.D.-5.直线y=mx-3m+2(m∈R)必过定点(  )A.(3,2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(3,-2)6.若三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3构成三角形,则a的取值范围是(  )A.a≠±1B.a≠1,a≠2C.a≠-1D.a≠±1,a≠27.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图形大致是(  )二、填空题8.已知直线l1:ax+3y-1=0与直线l2:2x+(a-1)y+1=0垂直,则实数a=_______.9.若直线mx+3y-5=0经过连接点A(-1,-2),B(3,4)的线段的中点,则m=______.10.直线l:ax+(a+1)y+2=0的倾斜角大于45°,则a的取值范围是______________. 11.已知两条直线a1x+b1y+4=0和a2x+b2y+4=0都过点A(2,3),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值.(2)当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直? 当堂检测答案1.答案 D解析 方程Ax+By+C=0表示直线的条件为A、B不能同时为0,即A2+B2≠0.2.答案 C解析 由ax+by=c,得y=-x+,∵ab0,直线在y轴上的截距1或者-

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