高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程 教案

福建省漳州市芗城中学高中数学3.2.3直线的一般式方程教案新人教A版必修2授课类型：新授课授课时间：第周年月日（星期）一、教学目标1、知识与技能（1）探索并掌握直线方程一般式的形式特征；（2）掌握直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间的互化的方法；（3）了解在直角坐标系中，平面上的直线与x、y的一次方程是一一对应的。2、过程与方法通过直角坐标系中直线与二元一次方程对应关系的探究，体会直线的一般式与平面上直线的关系，学会用分类讨论的思想方法解决问题。3、情感态度与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。二、教学重点、难点：重点：直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间互化的方法；难点：平面上的直线与x、y的一次方程的一一对应关系。三、教材分析：1、提示概念内涵，反映客观事物的本质属性（1）联系旧知识，引入新概念；——回顾直线方程的特殊形式，说明它们都具有局限性，通过扩大概念的外延，引出新概念：一般式。（2）充分用课本，剖析新概念；——“讲授新课”一段，分两个方面，每方面又分两种不同情况进行讨论；教学过程中又适当借助图形，最后得出“平面上的直线与二元一次方程一一对应”的结论。（3）设计小例题，强化新概念；——例1具体地说明了直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点；例2除了说明一般式化斜截式，由已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法，强化这堂课的新概念外，也重温了前面所学过的知识——由方程如何画直线。2、进行概念教学，注意运用数学方法，培养学生能力（1）抓住课题是字母系数方程的机会，进行“两分法”教学，培养全面、系统、周密地讨论问题的能力；（2）抓住“特殊式”与“一般式”在一定条件下可以互化，在解题中可以培养多向思维的能力。四、教学过程（一）复习引入：1、直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的互相转化：练习1：由下列条件，写出直线的方程：（1）经过点A（8，–2），斜率是；（）（2）经过点B（4，2），平行于x轴；（y–2=0）（3）经过点P1（3，–2），P2（5，–4）；（） （4）在x轴，y轴上的截距分别为，–3。（）2、直线方程的几种形式：形式条件方程应用范围点斜式过点，斜率为kk存在斜截式斜率为k，在y轴的截距为bk存在两点式过不同两点、k存在截距式在x轴、y轴上的截距分别为a、bk存在且且不过原点思考：以上方程有什么共同的特点？（二）讲授新课：1、直线与二元一次方程的关系：问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？对直线的倾斜角α进行讨论：①当时，直线斜率为，其方程可写成：，可变形为：，其中：A=k，B=–1，C=b；A、B不同时为零。（如图）②当时，直线斜率不存在，其方程可写成的形式，也可以变形为：，其中：A=1，B=0，。（如图）结论1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x、y的二元一次方程（A、B不同时为零）来表示。问题2：每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线吗？对B分两种情况进行讨论：①当时，可化为：，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线；②当B=0时，则，可化为，表示与y轴平行（）或重合（C=0）的直线。结论2：任何关于x、y的二元一次方程（A、B 不同时为零）都可以表示平面直角坐标系中的一条直线。2、直线的一般式方程：把关于x、y的二元一次方程（A、B不同时为零）叫做直线的一般式方程，简称一般式。注：（ⅰ）在平面直角坐标系中，表示任何一条直线的方程都是关于x、y的一次方程；反之，每一个关于x、y的一次方程都表示直角坐标系中的一条直线。（ⅱ）直线方程的特殊形式与一般形式可以互相转化。3、探究：在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y轴重合。说明：引导学生从直线与方程的一一对应关系去探究。4、练习2：把练习1中的直线方程化成一般式方程。（三）例题剖析：例1、已知直线经过点，且斜率为，求直线点斜式和一般式的方程：解：点斜式方程：；（2）一般式方程：；例2、把直线l的一般式方程x–2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。解：将直线l的一般式方程化成斜截式，因此，直线的斜率，它在y轴上的截距是3。在直线l的方程x–2y+6=0中，令y=0，得x=–6，即直线在x轴上的截距是–6。由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A（–6，0），B（0，3），过点A、B作直线，就得直线l的图形（如图）。注：求截距可以引导学生把一般式化为截距式，再由截距式观察而得。（四）课堂练习：课本P99，练习第2、3题。（五）归纳总结1、我们学到了什么？（1）通过对直线方程的各种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：（A、B不同时为零）（2）通过直线方程的一般式与特殊式的互化与解题，进一步理解直线方程解集和直线上点集的一一对应关系，从而概括出互推关系：点在直线上2、数学思想方法：分类讨论思想、数形结合思想。补充练习：1、已知直线l1，l2的方程分别是l1：A1x+B1y+C1=0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2=0（A2，B2不同时为0），且A1A2+B1B2=0，求证：l1⊥l2。 拓展：若l1//l2，则A1、B1、C1、A2、B2、C2应满足什么条件？（六）布置作业：课本P100，习题3.2[A组]第10、11题；[B组]第4，5题。（七）教学反思：