3.2.3直线的一般式方程疱丁巧解牛知识·巧学直线的一般式方程1.直线和二元一次方程的关系:因为在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α.(1)当α≠90°时,直线斜率存在,方程可写成y=kx+b,它可变形为kx-y+b=0,与二元一次方程一般形式Ax+By+C=0比较,有A=k,B=-1,C=b.(2)当α=90°时,直线斜率不存在,其方程可写成x=x1,比较有A=1,B=0,C=-x1(显然A、B不同时为0).所以,在平面直角坐标系中,对于任何一条直线有一个表示这条直线的关于x、y的二元一次方程.反过来,二元一次方程的一般形式Ax+By+C=0,①其中A、B不同时为0,(1)当B≠0时,方程①可化为y=,它表示斜率为,在y轴上截距为的直线(斜截式方程).(2)当B=0时,由于A、B不同时为0,必有A≠0,方程①可化为x=,它表示一条与y轴平行或重合的直线.所以在平面直角坐标系中,任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线.综上可知,在平面直角坐标系中,直线与关于x、y的二元一次方程是一一对应的.2.我们把关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.3.直线的一般式方程与四种特殊形式之间可以进行相互转化,关系如下:要点提示在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用的还是四种特殊形式,只是最后结果化为一般式.问题·探究问题1直线方程Ax+By+C=0的系数A、B、C满足什么关系时,这条直线有以下性质?(1)与两条坐标轴相交;(2)只与x轴相交;(3)是y轴所在直线.
探究:由直线的一般式方程观察直线图象的特征.若直线与两坐标轴都相交,但直线的斜率存在且不为0,故A≠0,B≠0.若只与x轴相交,即与x轴垂直,所以直线斜率不存在,则A≠0,B=0.若是y轴所在直线,即x=0,所以A≠0,B=0,C=0.问题2一条直线的一般式方程为Ax+By+C=0,如果它的图象通过第二、三、四象限,你能得出系数A、B、C的符号关系吗?探究:因为直线Ax+By+C=0的图象通过第二、三、四象限,所以此直线既不能与坐标轴平行又不能过原点,且其斜率必须为负,在y轴上的截距必小于0,可得A·B·C≠0且,,所以可以判断系数A、B、C必同号.典题·热题例1已知直线经过点A(6,-4),斜率为,求直线的点斜式和一般式方程.思路解析:本题中直线的点斜式方程可直接得到,主要体会由点斜式向一般式的转化过程,把握直线方程的一般式的特点.解:经过点A(6,-4),斜率为的直线的点斜式方程由公式可得y+4=(x-6),化为一般式可得4x+3y-12=0.深化升华对于直线方程的一般式,一般作如下约定:x的系数为正,x、y的系数及常数项一般不出现分数,一般按含x项、含y项、常数项顺序排列.求直线方程的题目,如无特别要求时,结果写成直线方程的一般式.例2直线ax-6y-12a=0(a≠0),在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍,求a值及直线的斜率.思路解析:先将直线方程化为截距式,由条件求出a值,然后化成斜截式求出斜率.解:∵a≠0,∴ax-6y-12a=0可化为.∴它在x轴和y轴上的截距分别为12和-2a.则12=-6a,a=-2.此时直线的方程为x+3y-12=0.化为斜截式为y=.∴a=-2,其斜率为.深化升华直线方程的一般式和特殊形式的互相转化问题.要注意各种形式的特征,并且在求解相关问题时,能根据具体题目的要求选择恰当的方程形式,尤其在求解直线的方程时,并不一定要设直线的一般式,但在没有特别说明的情况下,最终结果要化为直线的一般式.例3直线kx+y-k=0与射线3x-4y+5=0(x≥-1)有交点,求k的取值范围.思路解析:直线kx+y-k=0表示过定点的直线系.可以通过数形结合求得k的取值范围.另一种思路是先由两直线方程消去y,求得x用k表示的式子,利用x的取值范围求出k的取值范围.解:由kx+y-k=0,即k(x-1)+y=0,直线系过定点(1,0),斜率k′=-k,由数形结合可以看出k′∈(,+∞)∪(-∞,],所以k∈(-∞,)∪[,+∞).
另解:由两直线方程消去y得x=,即或.深化升华求定点的方法常有两种:一种是分离法;另一种对k赋两个值即可.数形结合和利用一个变数制约另一个变数是求参数范围的常用方法.