高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程 课件

直线的一般式方程 形式条件方程点斜式过点(x0,y0),斜率为k斜截式在y轴上的截距为b,斜率为k两点式过P1（x1,y1),P2（x2,y2)截距式在y轴上的截距为b,在x轴上的截距为a 过点与x轴垂直的直线可表示成，过点与y轴垂直的直线可表示成。 问题情境一数学家笛卡尔在平面直角坐标系中研究两直线间的位置关系时，碰到了这样一个问题：平面直角坐标系中的任何一条直线l能不能用一种自然优美的“万能”形式的方程来表示？ 思考1以上四个方程都是二元一次方程吗?所有的直线方程都是二元一次方程思考2上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？Ax+By+C=0 上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？?x+?y+?=0上述四式都可以写成以下形式：Ax＋By＋C＝0，(A、B不同时为0) 直线的一般式方程:，其中A，B不同时为0一般式①当B≠0时②当B=0时,是垂直于x轴的一条直线③当A=0时,是平行于x轴的一条直线 总结:由上面讨论可知,(1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示,(2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线. 直线的一般式方程:，其中A，B不同时为0一般式注意对于直线方程的一般式，一般作如下约定：1.方程中等号左侧从左往右，一般按x,y,常数的先后顺序排列.2.字母x前的系数一般不为负数，且方程中一般不出现分数.常化成3x-y-2=0 在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）过原点;深化探究xy0(1)A=0,B≠0,C≠0; 在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）过原点;深化探究xy0(2)B=0,A≠0,C≠0; 在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）过原点;深化探究xy0(3)C=0，A、B不同时为0; 解： 课堂练习 例4.直线l过点(6，－4)，倾斜角的余弦是，求直线l的一般式方程．解：∵倾斜角α的范围是：由题意：∴故求直线l的方程为即 例5.可设直线l方程为：令得即令得即正方向即解： 当且仅当即时，故所求直线l方程为：即 方法技巧1.与直线平行的直线方程可设为2.与直线垂直的直线方程可设为 设3x＋4y＋c＝0又∵l经过点(1，2)，可得所求直线方程为即3x＋4y－11＝0。例：⑴求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点（1，2）的直线l的方程。解： 设直线x－2y+c＝0又∵l经过点A(2，1)即x－2y＝0。例：⑵求经过点A（2，1），且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程。解： 真题再现过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）Ax-2y-1=0Bx-2y+1=0C2x+y-2=0Dx+2y-1=0A 练习．已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．法：(1)由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0，将点A(2,2)代入得c＝－14，则所求直线方程为3x＋4y－14＝0.(2)由题意，设所求直线方程为4x－3y＋c＝0，将点A(2,2)代入，得c＝－2，则所求直线的方程为4x－3y－2＝0. 练习．求平行于直线3x＋2y－6＝0，且在两坐标轴上截距之和为－2的直线方程。解：设所求直线的方程为3x＋2y＋λ＝0，令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝，所以（）＋（）＝－2，解之得λ＝所求直线方程为3x＋2y＋＝0，即15x＋10y＋12＝0。 已知直线l1，l2的方程分别是l1：A1x+B1y+C1=0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2=0（A2，B2不同时为0），l1⊥l2A1A2+B1B2=0 3．直线(2－m)x＋my＋3＝0与直线x－my－3＝0垂直，则m为________。答案：－2或1。 例已知直线l1：x-ay-1=0和l2:a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值. 方法技巧直线直线且 典型例题例.已知直线：2x+(m+1)y+4=0与直线：mx+3y-2=0平行，求m的值 5．已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)平行；(2)垂直。解：当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：2x－3y＝0，l1与l2相交且不垂直；当m≠0时，l1：y=，l2：y=。(1)l1∥l2⇔－＝－且－≠－，解得m＝－1∴当m＝－1时，l1∥l2。(2)l1⊥l2⇔·＝－1，解得m＝∴当m＝时，l1⊥l2。 a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0，(1)平行；(2)垂直． 4.直线l：mx+y-1=0经过第一、二、三象限,则实数m的取值范围是()A.RB.(0,+∞)C.(-∞,0)D.[1,+∞)【解析】选C.直线l的斜率k=-m,直线l的倾斜角为锐角,则k>0,所以-m>0,所以m