高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程 PPT课件

直线的一般式方程 (1)当α≠90°,如右图所示,直线斜率存在,方程可写成y=kx+b,它可变形为kx-y+b=0,与二元一次方程一般形式Ax+By+C=0比较,有A=k,B=-1,C=b.问题:前面我们学了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，可以发现这些方程都是关于x,y的二元一次方程，那么直线和二元一次方程的关系如何呢？因为在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α. (2)当α=90°时,如右图,直线斜率不存在,其方程可写成x=x1,与二元一次方程Ax+By+C=0比较有A=1,B=0,C=-x1(显然A､B不同时为0). 所以,在平面直角坐标系中,对于任何一条直线有一个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程.(1)当B≠0时,方程①可化为y=-,它表示斜率为在y轴上截距为的直线(斜截式方程).二元一次方程的一般形式Ax+By+C=0,①其中A､B不同时为0.反过来,任何关于x,y的二元一次方程都能表示一条直线吗? (2)当B=0时,由于A､B不同时为0,必有A≠0,方程①可化为x=-它表示一条与y轴平行或重合的直线.(3)当A=0时,或A≠0时,同样可推出方程①表示直线.所以在平面直角坐标系中,任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线.综上可知,在平面直角坐标系中,直线与x、y的二元一次方程是一一对应的.由此导出概念,方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程. 已知条件方程适用范围点斜式点P(x0，y0)和斜率ky－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直的直线斜截式斜率k和在y轴上的截距y＝kx＋b与x轴不垂直的直线两点式两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)与坐标轴不垂直的直线五种形式的直线方程的对比 截距式在x轴和y轴上的截距分别为a、b(ab≠0)与坐标轴不垂直和不过原点的直线一般式两个独立的条件Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)任何直线 求直线方程的几种形式例1：已知直线l经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求直线的一般式方程、斜截式方程及截距式方程，并画图．由两点式，得y－68－6＝x＋5，－4＋5整理，得2x－y＋16＝0，斜截式方程为y＝2x＋16，∴2x－y＝－16，两边同除以－16，解：直线过A(－5,6)，B(－4,8)两点， ＋＝1.＋＝1.得x－8y16故所求直线的一般式方程为2x－y＋16＝0，斜截式方程为y＝2x＋16，截距式方程为x－8y16图象如图1.图1 求直线方程时，结果在未作要求的情况下一般都整理成一般式．把一般式化为截距式时方法有两种：①分别令x＝0，y＝0求b和a；②移常数项，如Ax＋By＝－C，两边同除以－C(C≠0)，再整理成截距式的形式．1－1.已知直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是－3和4，求m、n的值． 解法二：将mx＋ny＋12＝0化为截距式得故m、n的值分别为4，－3. 利用一般式方程求斜率例2：已知直线Ax＋By＋C＝0(A、B不全为0).(1)当B≠0时，斜率是多少？当B＝0时呢？(2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？即直线与x轴垂直，斜率不存在．(2)若方程表示通过原点的直线，则(0,0)符合直线方程，则C＝0.∴当C＝0时，方程表示通过原点的直线．解：(1)当B≠0时，方程可化为斜截式： 当B≠0时，直线Ax＋By＋C＝0的斜率是一般式化为斜截式后求解． 2m2＋m－1解：(1)在(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0中，令(2)因为直线的斜率为－1，所以－m2－2m－3＝－1，解得m＝－2，m＝－1(舍去)．2－1.设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0，根据下列条件分别确定实数m的值．(1)l在x轴上的截距是－3；(2)斜率是－1. 1．过点A(2,3)和点B(2，－3)的直线的一般式方程是(）BA．x＝2C．y＝2B．x－2＝0D．y－2＝0C2．斜率为k且过原点的直线的一般式方程是(）A．y＝kxB．x－ky＝0C．kx－y＝0D．kx＋y＝0练习： 3．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l过原点和二、四象限，则()D解析：∵l过原点，∴C＝0，又l过二、四象限， 4．直线2x＋y＋7＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截)D距为b，则a、b的值是(A．a＝－7，b＝－7 思考：若方程表示一条直线，求实数m的取值范围．解：若方程表示一条直线，则       与不能同时成立.由:得:所以m的取值范围是： 如果直线l经过点P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形面积为S.(1)当S＝3时，这样的直线l有多少条，并求直线的方程；(2)当S＝4时，这样的直线l有多少条，并求直线的方程；(3)当S＝5时，这样的直线l有多少条，并求直线的方程；(4)若这样的直线l有且只有2条，求S的取值范围；(5)若这样的直线l有且只有3条，求S的取值范围；(6)若这样的直线l有且只有4条，求S的取值范围．思考： 思维突破：本题主要考查直线方程、一元二次方程以及不等式的基础知识，因为关系到直线与两坐标轴围成的三角形面 ＝±8，即a2－6a＋12＝0或a2＋6a－12＝0，前一个方程Δ0有两个不等的解，∴这样的直线共有2条．有a2a－2即a2－8a＋16＝0或a2＋8a－16＝0，前一个方程Δ＝0有一个解，后一个方程Δ>0有两个不等的解，∴这样的直线共有3条． ＝±10，有a2a－2即a2－10a＋20＝0或a2＋10a－20＝0，前一个方程Δ>0有两个解，后一个方程Δ>0有两个不等的解，∴这样的直线共有4条．(4)若这样的直线l有且只有2条， 即a2－2Sa＋4S＝0或a2＋2Sa－4S＝0，后一个方程Δ>0恒成立肯定有两个不等的解，∴如果这样的直线只有2条，则前一个方程必须有Δ0恒成立肯定有两个不等的解，∴如果这样的直线只有4条，则前一个方程必须有Δ>0，即(－2S)2－4·4S>0.∴S的取值范围为(4，＋∞)．