高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程 教案

3.2.3直线的一般式方程一、教材分析：（1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显．教学中各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬．（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础．直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证．教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点（3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解．二、教学目标：1、知识与技能：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；2、过程与方法：⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识三、教学重点：直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的理解四、教学难点：⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。五、教学方法：引导探究法、讨论法六、教具准备：ppt，三角板（直尺）七、教学过程：（一）复习回顾同学们先回忆一下，在上两节课，我们一共学习了四种直线方程，以及对应形式和限制条件。今天我们再来学习一种新的形式——直线的一般式方程。【板书课题】现在，先请一位同学来回忆一下已经学过的四种直线方程。第一种，点斜式，对应形式是（ ），那有没有限制条件？（有）限制条件是什么？（斜率k存在）【点击鼠标，播放PPT】（以下均用【点】表示）很好，大家看第二种斜截式的形式是什么样的？（）限制条件呢？（k存在）【点】第三种是两点式，两点式的形式是什么样的？（）限制条件呢？（）【点】再看，第四种形式截距式是什么样的？（）限制条件呢？（）【点】上述四种直线方程的表示形式都有一定的局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的直线？这就是我们今天这节课的主要内容。（二）讲授新课首先，大家看上述四种形式的直线方程有何共同特征？（都含有x，y）对，他们都有两个未知数x，y，并且次数都为1，这样的方程是什么方程？（二元一次方程）。那现在就请大家将其整理为统一形式，好，大家看屏幕，看看跟我整理的是否一样？【点】移项变号为【点】【点】整理为很正确。【点】整理为【点】。整理为【点】每一种形式的直线方程都可以化为二元一次方程，现在大家有没有发现什么？直线和二元一次方程是否有关系。接下来大家一起来探究。现在思考第一个问题：平面直角坐标系的每条直线都能用关于x,y的二元一次方程式来表示吗？也就是说是否我们已学的直线方程形式都可以化为关于x,y的二元一次方程?大家跟我一起来看看。 （板书：过点，求直线方程）过点的直线有2中情况：存在和不存在。我们一起来讨论一下。当存在时，即已知和一点求直线方程选用那一种直线方程来表示？（点斜式）即）整理得（板书：当存在时，直线方程为）【点】当不存在时，过点的直线是怎样的一条直线？（平行于y轴的直线）方程为（）（板书：当k不存在时，直线方程式为）【点】大家看是不是一个二元一次方程？（不是，是一元一次方程）对，他是一个关于x的一元一次方程。同时，它也是关于x，y的二元一次方程。只不过y的系数为0而已。那总结一下就是不管直线斜率存不存在，他的直线方程都可以化为一个二元一次方程（A，B不同时为0），知道为什么A，B不同时为0吗？（因为当A,B同时为0时，C只能为0，方程才成立）。对，A,B同时为0，则方程不会有x，y，就不会有直线。那我们的思考是不是就有答案了？现在大家思考第二个问题：每个(A,BR且A,B不同时为0)都表示一条平面直角坐标系上的一条直线？同学们有没有什么思路？提示一下，如果我们将化为前面4种形式之一，是不是就可以解决问题了？首先应该讨论y的系数B。当B≠0时， 表示斜率为。y轴截距为的直线（板书：当B≠0时，）【点】当B=0时，化为表示平行于y轴的直线。（板书：当B=0时，）这样是不是就解决了思考题2？【点】那我们看，这种关于x，y的二元一次方程(A,B不同时为0)就是我们今天学习的直线的一般式。（板书定义：把关于x，y的二元一次方程（A,B不同时为0）称为直线的一般式方程，简称一般式）【点】（三）、讨论接下来，我们来讨论一下A,B,C的不同取值，表示的直线有什么特点？【点】（1）平行于x轴的直线，则x的系数A为0，y的系数B不为0，C呢？当C=0时，表示即x轴。这是重合，不是平行。所以（板书：）【点】（2）平行于y轴的直线，则x的系数A不为0，y的系数B为0，C不为0。（板书：）【点】（3）与x轴重合：【点】（4）与y轴重合：【点】（5）与x轴，y轴都相交：，C可不可以等于0。当C=0时，表示过原点的直线，即与x轴，y轴都交于同一个点。（6）直线在两坐标上的截距相等。在x轴上的截距为 ，在y轴上的截距为。所以，，即A=B≠0.【板书】【点】（7）直线过一二三象限。特点是k＞0，即＞0，y轴截距则>0,A,B异号，B,C异号【点】讲的这些内容还有没有问题？那现在练习几道题。【点】（1）经过点（8，-2）斜率为，选用已学过的哪种形式表示？（点斜式)表示为()整理的一般式为x-2y-4=0【点】（2）经过点（3，-2）（5，-4）选用哪种形式？（两点式，）整理得一般式为x+y-1=0【点】（3）在x轴与y轴的截距分别为3/2，-3.（截距式，）整理得一般式为2x-y-3=0【点】（4）经过点（3,0），且与直线2x+y-5=0垂直。两条直线垂直条件是什么？（斜率乘积为-1），那已知直线斜率为多少？（-2）要求直线斜率为？（）所以直线方程为，整理得一般式为。（四）、小结：（1）对直线的一般式方程的理解与掌握；（2）几种形式的互化；（3）A,B,C不同取值对应的直线方程。 （五）、布置作业：习题3.23,5,8,10八、板书设计：3.2.3直线的一般式方程思考1：二、定义思考2：三、讨论