2020_2021学年高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程 学案

3.2.3 直线的一般式方程学习目标核心素养1.掌握直线的一般式方程．(重点)2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点)3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点)通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学学科素养．直线的一般式方程(1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．(3)系数的几何意义：①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．思考：当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？[提示] (1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．(2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．(3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．1．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(  )A．30°   B．60°   C．150°   D．120°C [直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.]2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(  )A.A≠0B.B≠0C.A·B≠0D.A2＋B2≠0-8- D [方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.故选D.]3．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．2x－y＋1＝0 [由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.]4．过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线的一般式方程是________．3x＋2y－6＝0 [由截距式得，所求直线的方程为＋＝1，即3x＋2y－6＝0.]直线的一般式方程【例1】 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4).[解] (1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0.(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.(3)由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0.(4)由两点式得＝，即x＋y－1＝0.1．求直线的一般式方程的策略(1)首先选择不同的形式求出直线方程，再整理成Ax＋By＋C＝0的形式．(2)直线Ax＋By＋C＝0中虽然参数含有三个，但其实只需两个即可：或点与斜率，或斜率和截距，或两个截距等．2．直线方程的几种形式的转化-8- 提醒：在利用直线方程的四种特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件．1．(1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(  )A．3x＋4y＋7＝0  B．4x＋3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0D．3x＋4y－42＝0(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(  )A．   B．－5C．   D．－3(1)B (2)D [(1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项．又y＝－x＋14过点(0，14)，即直线过第一象限，所以只有B项正确．(2)令y＝0，则x＝－3.]由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直【例2】 (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？[解] 法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：①当m＝0时，显然l1与l2不平行．②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.(2)由题意知，直线l1⊥l2.①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．-8- ③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即·＝－1，∴a＝－1.综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.法二：(1)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2，∴m的值为2或－3.(2)由题意知直线l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意．故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．与直线Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程的设法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.2．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直．[解] 法一：由题设l的方程可化为y＝－x＋3，-8- ∴l的斜率为－.(1)由l′与l平行，∴l′的斜率为－.又∵l′过(－1，3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为，又过(－1，3)，由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.法二：(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1，3)代入上式得m＝－9.∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.将(－1，3)代入上式得n＝13.∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.与含参数的一般式方程有关的问题[探究问题]1．直线kx－y＋1－3k＝0是否过定点？若过定点，求出定点坐标．[提示] kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，由点斜式方程可知该直线过定点(3，1).2．若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第四象限，k，b应满足什么条件？[提示] 若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第四象限，则应满足k>0且b≥0.【例3】 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．思路探究：(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.[解] (1)证明：法一：将直线l的方程整理为y－＝a，∴直线l的斜率为a，且过定点A，而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．-8- 法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.∵上式对任意的a总成立，必有即即l过定点A.以下同法一．(2)直线OA的斜率为k＝＝3.如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3.1．本例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？[解] 由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a≤3.2．本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？[解] (1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得，所以a>1.综上可知a≥1.直线恒过定点的求解策略(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标．-8- (2)①将方程转化为f(x，y)m＋g(x，y)＝0；②解方程组的解(x0，y0)；③(x0，y0)即为含参数直线的定点．1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.第二种方法可避免讨论，减小失误．1．直线＋＝1，化成一般式方程为(  )A．y＝－x＋4  B．y＝－(x－3)C．4x＋3y－12＝0D．4x＋3y＝12C [直线＋＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0.]2．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件(  )A.bc＝0B．a≠0C．bc＝0且a≠0D．a≠0且b＝c＝0D [y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足条件为b＝c＝0，a≠0.]3．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y-8- ＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为________．x－3y＋24＝0 [直线2x－3y＋12＝0的斜率为，所以kl＝.又直线2x－3y＋12＝0在y轴的截距为4，所以直线l在y轴上的截距为8，所以直线l的方程为y＝x＋8，即x－3y＋24＝0.]4．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．y＋4＝(x－0) ＋＝1 y＝x－4 x－y－4＝0 [点斜式方程：y＋4＝(x－0)，截距式方程：＋＝1，斜截式方程：y＝x－4，一般式方程x－y－4＝0.]5．已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值．(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.[解] (1)∵l1∥l2，∴解得a＝2.(2)l1⊥l2得a×3＋2×(a＋1)＝0，得a＝－.-8-