高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程 课件

3.2.3 直线的一般式方程 课标要求:1.了解二元一次方程与直线的对应关系.2.掌握直线方程的一般式.3.能根据所给条件求直线方程,并能在几种形式间相互转化. 自主学习知识探究1.直线的一般式方程(1)定义:我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 2.辨析直线的五种形式的方程方程形式直线方程局限性选择条件点斜式y-y1=k(x-x1)不能表示与x轴垂直的直线①已知斜率;②已知一点斜截式y=kx+b不能表示与x轴垂直的直线①已知在y轴上的截距;②已知斜率 3.直线的位置的确定方法直线的位置可由直线的横、纵截距共同确定:①直线经过第一、二、三象限⇔横截距小于0且纵截距大于0;②经过第一、三、四象限⇔横截距大于0且纵截距小于0;③经过第二、三、四象限⇔横截距小于0且纵截距小于0;④经过第一、二、四象限⇔横截距大于0且纵截距大于0.4.两条直线平行与垂直的条件设直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.(1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0.(2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 自我检测(教师备用)1.过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线在y轴上的截距是()(A)1(B)-1(C)3(D)-32.过点(1,4)且在x轴,y轴上的截距相等的直线方程为()(A)4x-y=0(B)x+y-5=0(C)x+y-5=0或4x+y=0(D)x+y-5=0或4x-y=03.如果AB>0,BC>0,那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限BDB 4.过点P(1,2),且斜率与直线y=-2x+3的斜率相等的直线的一般式方程为.答案:2x+y-4=05.若两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的坐标分别满足3x1-5y1+6=0和3x2-5y2+6=0,则经过这两点的直线方程是.解析:两点确定一条直线,点A,B均满足方程3x-5y+6=0.答案:3x-5y+6=0 题型一直线的一般式方程课堂探究【例1】根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.(1)斜率是,且经过点A(5,3).(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2.(2)由斜截式得直线方程为y=4x-2,即4x-y-2=0. (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点.(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1. 方法技巧根据已知条件求直线方程的策略在求直线方程时,设一般式方程并不简单,常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程,一般选用规律为:(1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式;(2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用斜截式;(3)已知直线上两点坐标时,选用两点式;(4)已知直线在x轴,y轴上的截距时,选用截距式. 即时训练1-1:直线l过点P(-2,3),且与x轴,y轴分别交于A,B两点,若点P恰为AB的中点,则直线l的方程的一般式为.答案:3x-2y+12=0 1-2:下列直线中,斜率为-,且不经过第一象限的是()(A)3x+4y+7=0(B)4x+3y+7=0(C)4x+3y-42=0(D)3x+4y-42=0 题型二利用直线一般式方程解决平行、垂直问题【例2】(12分)已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0,求满足下列条件的a的值:(1)l1∥l2; (2)l1⊥l2. 变式探究:本例中的直线l2,当a取何值时,直线l2不过第四象限? 方法技巧所给直线方程是一般式,且直线斜率可能不存在时,利用l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0和l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0)来判定两条直线是否垂直或平行,避免了讨论斜率是否存在的情况,比用斜率来判定更简便. 即时训练2-1:(1)若直线(a+1)x+2y+1=0与直线x+ay=1互相平行,则实数a的值等于()(A)-1(B)0(C)1(D)2解析:(1)因为直线(a+1)x+2y+1=0与直线x+ay=1互相平行,所以(a+1)·a=2.所以a2+a-2=0,所以a=-2或a=1.当a=-2时,直线-x+2y+1=0与直线x-2y=1重合.当a=1时,直线2x+2y+1=0与直线x+y=1平行.选C. (2)若直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,则a的值为()(A)-3(B)1(C)0或-(D)1或-3解析:(2)因为l1⊥l2,所以a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即a2+2a-3=0,故a=1或-3.选D. (3)已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,使l'满足:①过点(-1,3),且与l平行;②过点(-1,3),且与l垂直.(3)解:①由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0.将点(-1,3)代入上式得m=-9.所以所求直线方程为3x+4y-9=0.②由l'与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.所以所求直线方程为4x-3y+13=0. 题型三直线的一般式方程的应用【例3】(1)若方程(m2+5m+6)x+(m2+3m)y+1=0表示一条直线,求实数m的范围; (2)当实数m为何值时,直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1①倾斜角为45°;②在x轴上的截距为1. 方法技巧(2)一般式转化截距式:一是分别令x=0,y=0,求得b和a;二是移常数项,得Ax+By=-C,两边同除以-C(C≠0),再整理即可.另外直线Ax+By+C=0中系数A,B确定直线的斜率,因此,与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C),这是经常采用的解题技巧;经过点A(x0,y0),且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0;与直线Ax+By+C=0垂直的直线可设为Bx-Ay+m=0(m为参数). 即时训练3-1:线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程.(1)过定点A(-3,4); (2)与直线6x+y-3=0垂直.