3.2.3 直线的一般式方程一、直线的一般式方程1．直线的一般式方程在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.2．直线的一般式与斜截式、截距式的互化直线的一般式、斜截式、截距式如下表：一般式斜截式截距式不同时为0)都不为0)直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化：（1）当时,可化为,它表示在y轴上的截距为,斜率为的直线.（2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线.注意：解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式.二、直线系方程1．平行直线系方程把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为(其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.2．垂直直线系方程一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后
依据题设中的另一个条件来确定的值.三、一般式方程中两直线平行与垂直的条件若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,，则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下：（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且.即,且或.（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.即.K知识参考答案：一、1．2．（1）（2）二、1．2．K—重点直线的一般式方程K—难点直线系方程的应用K—易错忽略直线斜率不存在的情况或两直线重合的情形致错1．直线的一般式方程（1）直线的一般式方程中要求A,B不同时为0.（2）由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件.【例1】若直线不经过第二象限,则实数的取值范围是_________.
【答案】【解析】将直线的方程整理得y-=(x-),所以直线过定点A(),直线OA的斜率==3,要使不经过第二象限,需斜率≥=3,所以.【例2】设直线的方程为，根据下列条件分别确定的值：(1)在轴上的截距是；(2)的斜率是．2．由直线的位置关系求参数对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线的方程分别为(,不同时为0)，(,不同时为0)，则,且或;.【例3】求m，n的值，使直线l1：y=(m−1)x−n＋7满足：
（1）平行于x轴；（2）平行于直线l2：7x−y＋15=0；（3）垂直于直线l2：7x−y＋15=0.【解析】（1）当直线l1平行于x轴时，直线l1的斜率为0，即m−1=0，m=1．又直线l1不与x轴重合，所以，即.综上，当m=1且n≠7时，直线l1平行于x轴.（2）将7x−y＋15=0化为斜截式得，y=7x＋15，∴直线l2的斜率k2=7，截距b=15，当l1∥l2时，应有直线l1的斜率k1=7且截距b1≠15，即m−1=7且−n＋7≠15，∴m=8，且n≠−8.（3）由题意及（2）可得(m−1)·7=−1，，即时，l1⊥l2.3．由直线的位置关系求方程一般地,直线中的系数A,B确定直线的斜率.因此,利用平行直线系或垂直直线系直接设出直线方程，用待定系数法即可求解.【例4】已知直线的方程为3x＋4y−12=0，求直线的方程，满足：（1）过点(−1，3)，且与平行；（2）过点(−1，3)，且与垂直.【解析】（1）方法一：由题设的方程可化为：，∴的斜率为，又与平行，∴的斜率为.又过(−1，3)，由点斜式知方程为，即.方法二：由与平行，可设的方程为3x＋4y＋m=0(m≠−12).将点(−1，3)代入上式得m=−9.∴所求直线方程为.（2）方法一：由题设的方程可化为：，∴的斜率为，由与垂直，得的斜率为，又过(−1，3)，由点斜式可得方程为，即4x−3y＋13=0.方法二：由与垂直，可设的方程为4x−3y＋n=0.将(−1，3)代入上式得n=13.
∴所求直线方程为4x−3y＋13=0.【例5】已知直线平行于直线，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程.4．忽略直线斜率不存在的情况【例6】已知直线:(2−a)x+ay−3=0,:(2a+3)x−(a−2)y+2=0互相垂直，求实数a的值.【错解】将的方程化为,得斜率;将的方程化为,得斜率.∵⊥,∴,即,解得a=−1.【错因分析】将直线的一般式方程化成斜截式，再运用直线的斜率判断直线垂直，没有考虑直线的斜率不存在的情况，所以答案不完整.【正解】因为⊥，则必有(2−a)(2a+3)−a(a−2)=0,即,所以a=2或a=−1.【误区警示】⊥并不等价于，一般地，设直线的方程分别为，，则,且或;.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．
1．若表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足的条件为A．bc=0B．a≠0C．bc=0且a≠0D．a≠0且b=c=02．直线恒经过点A．(3，0)B．(3，3)C．(1，3)D．(0，3)3．直线在两坐标轴上的截距之和是A．B．C．D．4．过点且与直线平行的直线方程是A．B．C．D．5．已知,则直线ax+by=c通过A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限6．若直线与直线垂直，垂足为，则的值为A．B．C．0D．107．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为−4，则直线l的点斜式方程为________________；截距式方程为________________；斜截式方程为________________；一般式方程为________________．8．已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值是________________.9．中,已知,则边上的中线所在的直线的一般式方程为________________.10．以，为端点的线段的垂直平分线的一般式方程是________________.
11．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)直线斜率是，且经过点；(2)直线过点，且垂直于轴；(3)直线斜率为4，在轴上的截距为；(4)直线在轴上的截距为3，且平行于轴；(5)直线经过，两点；(6)直线在，轴上的截距分别是，．12．(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？13．已知直线l的方程为Ax＋By＋C=0，若直线l过原点和第二、四象限，则A．B>0，C=0B．A>0，B>0，C=0C．AB0，C=014．已知过点和点的直线为，，.若，
，则实数的值为A．B．C．0D．815．若直线4x−3y−12=0被两坐标轴截得的线段长为，则c的值为________________．16．设直线l的方程为．（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．1234561314DBAACADA1．【答案】D【解析】y轴表示的直线方程为x=0，所以a，b，c满足的条件为a≠0且b=c=0.2．【答案】B【解析】可化为，所以过定点.故选B3．【答案】A【解析】令，得；令，得，故直线在两坐标轴上的截距之和为.4．【答案】A【解析】∵所求直线与直线平行，∴所求直线的斜率为，则所求直线的点斜式
方程为，整理，得.5．【答案】C【解析】原直线可化为,则>0,0.14．【答案】A【解析】，，解得.又，，解得，.故选A.15．【答案】【解析】令x=0，得y=−4；令y=0，得x=3.依题意得，∴.16．【解析】（1）当直线l过原点时，直线l在x轴和y轴上的截距均为零，显然相等，此时a=2，直线l的方程为3x＋y=0；当时，截距存在且不为0，∴，即a＋1=1，∴a=0，此时方程为x＋y＋2=0.综上，满足题意的方程为3x＋y=0或x＋y＋2=0.（2）将直线l的方程变形为y=−(a＋1)x＋a−2.依题意有，或.
解得a
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