高中数学2.2直线的方程 直线方程的一般式教案

2.2.2.2直线方程的一般式示范教案教学分析     通过讨论直线的斜截式方程与二元一次方程的关系，归纳、总结出了结论：关于x、y的二元一次方程都表示一条直线，接着给出了直线的一般式方程的概念．同时，我们还可以得到结论：直线的方程都是关于x，y的二元一次方程，即对于每一条直线都可求出它的方程，而且是二元一次方程．三维目标     1．掌握直线方程的一般式；了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系；培养学生树立辩证统一的观点；培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．2．会将直线方程的特殊形式化成一般式；会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力；渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想．重点难点     教学重点：直线方程的一般式及各种形式的互化．教学难点：归纳出直线的一般式方程．课时安排     1课时导入新课     设计1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线的方程呢？这节课我们就来研究这个问题．设计2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形．(1)斜率是1，经过点A(1,8)；(2)在x轴和y轴上的截距分别是－7,7；(3)经过两点P1(－1,6)、P2(2,9)；(4)在y轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件，请学生写出直线方程的“特殊”形式分别为y－8＝x－1、＋＝1、＝、y＝x＋7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合．原来它们的方程化简后均可统一写成：x－y＋7＝0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式．推进新课     6 讨论结果：(1)二元一次方程的形式：Ax＋By＋C＝0.(2)直线y＝kx＋b化为kx－y＋b＝0.直线x＝x1化为x－0·y－x1＝0.因此都能化为二元一次方程的形式，即有以下结论：直线的方程都是关于x，y的二元一次方程．(3)关于x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，①其中A，B不同时为0.下面分B≠0和B＝0两种情况加以讨论：①当B≠0时，方程①可化为y＝－x－.这是直线的斜截式方程．它表示斜率为－，在y轴上的截距为－的直线．②当B＝0时，由于A，B不同时为0，必有A≠0，于是方程①可化为x＝－.它表示一条与y轴平行或重合的直线．根据以上讨论，我们又得到下面的结论：关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．(4)直线与二元一次方程的关系：①直线的方程都是关于x，y的二元一次方程；②关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．因此，关于x，y的二元一次方程是直线的方程，我们把方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)叫做直线的一般式方程．思路1例1已知直线通过点(－2,5)，且斜率为－，求此直线的一般式方程．解：由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，整理，得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.变式训练1．过点A(4，－3)，且斜率为－的直线的一般式方程是______．答案：2x＋3y＋1＝02．过A(1,1)，B(－1,3)的直线的一般式方程是______．答案：x＋y－2＝0例2求直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在y轴上的截距．解：已知直线方程可化为y＝x＋2.所以直线l的斜率k＝，在y轴上的截距是2.点评：本题主要考查将直线的一般式方程化为斜截式方程．变式训练1．直线x－y＋4＝0的斜率为______，倾斜角＝______.答案： 30°6 2．已知直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是－3和4，求m、n的值．解法一：由截距意义，知直线经过A(－3,0)和Q(0,4)两点，因此有解得解法二：由截距已知，也可将mx＋ny＋12＝0化为截距式得＋＝1.因此有解得6 思路2例3设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件确定m的值．(1)l在x轴上的截距为－3；(2)l的倾斜角为135°；(3)直线l与x轴平行．解：(1)由于l在x轴上的截距为－3，则l过点(－3,0)，∴(m2－2m－3)(－3)＝2m－6，解得m＝－或m＝3(舍去)，∴m＝－.(2)由l的倾斜角α＝135°，则斜率k＝tan135°＝－1，∴－＝－1，解得m＝－2，或m＝－1(舍去)．(3)由于l∥x轴，则l的斜率k＝0，∴－＝0解得m＝3或m＝－1(舍去)．点评：本题(1)易错认为m＝3也符合题意，通过(3)可以看出m＝3时，l与x轴平行，此时，l在x轴上不存在截距．变式训练1．直线Ax＋By＋C＝0，经过第一、二、三象限，则(  )A．AB>0B．AB0，则AB0恒成立，求m的取值范围．解：设f(x)＝mx＋(2m＋1)，当x∈(－1,1)时，f(x)>0恒成立，即当x∈(－1,1)时，f(x)的图象位于x轴上方，只需即解得m≥－，即m的取值范围是[－，＋∞)．本节课学习了：1．直线的一般式方程；2．直线的方程化为一般式方程；一般式方程化为斜截式方程和截距式方程．本节练习B 2,3题．本节课的教学流程是这样设计的：激活旧知→归纳猜想→获得新知→转化巩固→重组网络→变式训练→迁移应用→小结归纳．两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式．直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化．引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化，渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时，渗透数形结合的数学思想．安排变式练习，培养学生解决问题的技能．6 直线方程的一般式是在学生学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式后的第5种形式．前4种形式都有其各自的优点，那么为什么还要学习一般式呢？实际上直线方程的一般式有其他4种形式无法实现的一个优点，它能表示平面内的任意一条直线．针对这个特点就想到先让学生寻找4种形式的不完备之处，那就是它们都有一定的应用范围，进而提出问题：平面内任意给定一条直线一定可以用以上4种形式之一来表示吗？再一次突出了4种直线方程的不完备之处，从而引起学生的疑惑与反思．由此引起学生的联想：是否有另一种直线方程能够表示平面内的任何一条直线？从而激发起学生学习研究的兴趣．这就是通过引导学生发现现有知识的不完备，使学生产生不完备的地方能否给予改进、提高的想法，从而使学生有发现探求新知识的必要．这样新知识的出现就不是老师“塞”给学生的，“今天我们学习……”，而是知识研究的必然，它的出现就像清泉般慢慢地却极自然地流进学生的心田．6