3．2.2&3.2.3 直线的两点式方程 直线的一般式方程两点式、截距式[提出问题]某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1km和4km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A，B两处，并使区商业中心O到A，B两处的距离之和最短．问题1：在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？提示：可以确定．问题2：根据上图知建立平面坐标系后，A，B两点的坐标值相当于在x轴、y轴上的什么量？提示：在x轴、y轴上的截距．问题3：那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？提示：可以．[导入新知]直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2在x轴上截距a，在y轴上截距b图形方程＝＋＝1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 [化解疑难]1．要注意方程＝和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1-12-
)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．2．直线方程的截距式为＋＝1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如－＝1，＋＝－1就不是直线的截距式方程.直线方程的一般式[提出问题]观察下列直线方程：直线l1：y－2＝3(x－1)；直线l2：y＝3x＋2；直线l3：＝；直线l4：＋＝1.问题1：上述直线方程的形式分别是什么？提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式．问题2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax＋By＋C＝0的形式吗？提示：能．问题3：二元一次方程Ax＋By＋C＝0都能表示直线吗？提示：能．[导入新知]1．直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．2．直线的一般式方程的定义我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．[化解疑难]1．求直线的一般式方程的策略(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．-12-
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．2．直线的一般式转化为其他形式的步骤(1)一般式化为斜截式的步骤①移项得By＝－Ax－C；②当B≠0时，得斜截式：y＝－x－.(2)一般式化为截距式的步骤①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；②当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；③化为截距式：＋＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．利用两点式求直线方程[例1] 三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．[解] 由两点式，直线AB所在直线方程为＝，即x＋4y＋1＝0.同理，直线BC所在直线方程为＝，即2x＋y－5＝0.直线AC所在直线方程为＝，即3x－2y＋3＝0.[类题通法]求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．-12-
[活学活用]1．已知直线经过点A(－3，－1)和点B(3,7)，则它在y轴上的截距是________．答案：32．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.答案：－2直线的截距式方程及应用[例2] 直线l过点P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程．(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．[解] (1)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，由题意知，a＋b＋＝12.又因为直线l过点P，所以＋＝1，即5a2－32a＋48＝0，解得或所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.(2)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，由题意知，ab＝12，＋＝1，消去b，得a2－6a＋8＝0，解得或所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.[类题通法]用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．-12-
(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．[活学活用] 求经过点A(－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．解：设直线在x轴、y轴上的截距分别是a，b，则有S＝|a·b|＝1.∴ab＝±2.设直线的方程是＋＝1.∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得＋＝1，即b＝.∴ab＝＝±2.当＝－2时，化简得a2＋a＋2＝0，方程无解；当＝2时，化简得a2－a－2＝0，解得或∴直线方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.直线方程的一般式应用[例3] (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？[解] (1)法一：由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0，①当m＝0时，显然l1与l2不平行．②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.解得m＝2或m＝－3.∴m的值为2或－3.法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，-12-
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2，∴m的值为2或－3.(2)法一：由题意，l1⊥l2，①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直．②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即·＝－1，所以a＝－1.综上可知，当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2.法二：由l1⊥l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.将a＝±1代入方程，均满足题意．故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.[类题通法]1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.[活学活用] (1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．解：(1)法一：设直线l的斜率为k，∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－.又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝-12-
－(x－1)，即3x＋4y－11＝0.法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.∵l经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.(2)法一：设直线l的斜率为k.∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，∴k·(－2)＝－1，∴k＝.又∵l经过点A(2,1)，∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.∵直线l经过点A(2,1)，∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0.∴所求直线l的方程为x－2y＝0. [典例] 求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．[解] 当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为，所以直线方程为y＝x.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又过点A，所以＋＝1①.因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b|②.由①②联立方程组，解得或所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2.-12-
综上，直线l的方程为y＝x或x＋y＝6或x－y＝2.[多维探究]1．截距相等问题求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．解：①当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，所以直线方程为y＝x.②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又过A(4,2)，∴a＝6，∴方程为x＋y－6＝0.综上，直线方程为y＝x或x＋y－6＝0.2．截距和为零问题求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．解：①当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，所以直线方程为y＝x.②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为－＝1.又过A(4,2)，∴＝1，即a＝2，∴x－y＝2.综上，直线l的方程为y＝x或x－y＝2.3．截距成倍数问题求过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线l的方程．解：①当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，所以直线方程为y＝x.②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又直线过A(4,2)，所以＋-12-
＝1，解得a＝，方程为x＋3y－10＝0.综上，所求直线方程为y＝x或x＋3y－10＝0.4．截距和是定数问题求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程．解：设直线l的方程为＋＝1，由题意得∴4b＋2a＝ab，即4(12－a)＋2a＝a(12－a)，∴a2－14a＋48＝0，解得a＝6或a＝8.因此或∴所求直线l的方程为x＋y－6＝0或x＋2y－8＝0.[方法感悟]如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．[随堂即时演练]1．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A．1 B．－1C．7D．－7答案：B2．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有( )A．a＝2，b＝5B．a＝2，b＝－5C．a＝－2，b＝5D．a＝－2，b＝－5答案：B3．直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________．答案：x－y＋3＝04．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．答案：2x－y＋1＝05．三角形的顶点坐标为A(0，－5)，B(－3,3)，C(2,0)，求直线AB和直线AC的方程．-12-
解：直线AB的方程为8x＋3y＋15＝0，直线AC的方程为5x－2y－10＝0.[课时达标检测]一、选择题1．平面直角坐标系中，直线x＋y＋2＝0的斜率为( )A. B．－C.D．－答案：B2．直线ax＋by＝1(a，b均不为0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.abB.|ab|C.D.答案：D3．已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则( )A．若c＞0，则a＞0，b＞0B．若c＞0，则a0，b
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