2019_2020学年高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程 课件

3.2.3直线的一般式方程 目标定位重点难点1.掌握直线的一般式方程．2．了解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式．3．会进行直线方程不同形式的转化.重点：直线方程的一般式与其他形式的相互转化．难点：运用直线的一般式方程解决实际问题. 1．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的______________；任何关于x，y的二元一次方程都表示_________．方程_______________(其中A，B不同时为0)叫做直线方程的一般式．二元一次方程一条直线Ax＋By＋C＝0 2．对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为________，在y轴上的截距为________；当A≠0时，在x轴上的截距为________；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为________，________. 3．直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x，y的二元一次方程．(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．(3)x的系数一般不为分数和负数．(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． 1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何直线方程都能表示为一般式．()(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．()(3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示垂直于x轴的直线．()【答案】(1)√(2)×(3)× 2．做一做．(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线(m＋2)x＋3y＋3＝0与x＋(2m－1)y＋m＝0平行，则m的值为________．(2)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________. 3．思一思：对于直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0，当直线垂直于坐标轴时，A，B满足什么条件？当C＝0时，表示怎样的直线？ 【例1】设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：(1)直线l的斜率为－1；(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.直线方程的一般式 8 由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式． 【例2】(1)过点A(2,2)且与直线3x＋4y－20＝0平行的直线方程为__________．(2)过点A(2,2)且与直线3x＋4y－20＝0垂直的直线方程为__________．【解题探究】若两直线平行，则两直线的斜率有何关系？若垂直呢？【答案】(1)3x＋4y－14＝0(2)4x－3y－2＝0直线方程的应用 【解析】(1)①设与直线3x＋4y－20＝0平行的直线方程为3x＋4y＋C＝0，过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋C＝0，即C＝－14，直线方程为3x＋4y－14＝0.(2)设与直线3x＋4y－20＝0垂直的直线方程为4x－3y＋m＝0，过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋m＝0，即m＝－2，直线方程为4x－3y－2＝0. 8一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A，B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧． 2．已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值．(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2. 【例3】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．【解题探究】(1)将直线整理为点斜式的形式，求出所过的定点在第一象限即可；(2)考虑直线的斜率和直线在y轴上截距的符号，建立关于a的不等关系求解．直线的综合应用 8针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax＋By＋C＝0进行变形是解决这类问题的关键．在求参数取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单明了． 3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)求证：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围． 【示例】直线l1：(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5＝0的斜率与直线l2：x－y＋1＝0的斜率相同，则m等于()A．2或3B．2C．3D．－3忽视一般式方程中A与B的条件致误 1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性． 2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式，则k1k2＝－1.(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.第二种方法可避免讨论，减小失误． 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为()A．A≠0B．B≠0C．A·B≠0D．A2＋B2≠0【答案】D【解析】方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0. 3．(2019年湖北武汉模拟)已知过点A(－5，m－2)和B(－2m，3)的直线与直线x＋3y＋2＝0平行，则m的值为()A．4B．－4C．10D．－10【答案】A 4．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)，若l不经过第二象限，则实数a的取值范围为________．【答案】(－∞，－1]