2019-2020年高中数学3.2.3直线的一般式方程练习新人教A版必修2(1)在平面直角坐标系中,任何一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.(2)每个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.►思考应用1.探讨直线Ax+By+C=0,当A,B,C为何值时,直线:(1)平行于x轴?(2)平行于y轴?(3)与x轴重合?(4)与y轴重合?答案:(1)A=0,BC≠0 (2)B=0,AC≠0 (3)A=C=0 (4)B=C=02.过点A(-1,3)和B(-2,1)的直线的一般式方程为2x-y+5=0.3.将直线l的一般式方程3x-2y+6=0.化为斜截式和截距式.解析:斜截式:y=x+3;截距式:+=1.1.过点(-3,0)和(0,4)的直线的一般式方程为(C) A.4x+3y+12=0B.4x+3y-12=0C.4x-3y+12=0D.4x-3y-12=0解析:由已知得方程为+=1,即4x-3y+12=0.2.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件是(D)A.A≠0B.B≠0C.A·B≠0D.A2+B2≠03.在同一坐标系中,直线l1:ax-y+b=0与l2:bx+y-a=0(ab≠0)只可能是(D)
解析:根据l1的位置确定a,b的正负,从而再确定l2的位置.4.过点(0,1)且与直线2x+y-3=0垂直的直线方程是(B)A.2x-y-1=0B.x-2y+2=0C.2x-y+1=0D.x-2y-2=0解析:与直线2x+y-3=0垂直的直线的斜率为,∴所求直线方程为y-1=x,即x-2y+2=0.5.过点A(3,-1),B(5,4)的直线方程的两点式为=,化成一般式为5x-2y-17=0,化为截距式为+=1,斜截式为y=x-.1.直线y-1=4(x+2)化为一般式方程为(C)
A.4(x+2)-y+1=0B.y=4x+9C.4x-y+9=0D.=42.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为(A)A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=03.两直线mx+y-n=0与x+my+1=0互相平行的条件是(D)A.m=1B.m=±1C.D.或解析:根据两直线平行可得=,所以m=±1,又两直线不可重合,所以m=1时,n≠-1;m=-1时,n≠1.4.直线3x-2y-4=0的截距式方程是(D)A.-=1B.-=4C.+=1D.+=15.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是(B)A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5解析:kAB==-,由k·kAB=-1得k=2.由中点坐标公式得x==2,y==,∴中点坐标为.由点斜式方程得y-=2(x-2),即4x-2y=5.6.三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3构成三角形,则a的取值范围是(A)A.a≠±1B.a≠1,a≠2C.a≠-1D.a≠±1,a≠2解析:直线x+y=0与x-y=0都经过原点,而无论a为何值,直线x+ay=3总不经过原点,因此,要满足三条直线构成三角形,
只需直线x+ay=3与另两条直线不平行.∴a≠±1.7.直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°,则实数m的值为________.解析:由已知得∴m=3.答案:38.纵截距为-4,与两坐标轴围成三角形的面积为20的直线的一般式方程为________________.解析:由题意,设所求直线为+=1,且|4a|=20,∴|a|=10即a=10或-10,则其方程为-=1或-=1,可化为2x-5y-20=0或2x+5y+20=0.答案:2x-5y-20=0或2x+5y+20=09.(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值.(2)直线的截距式方程+=1化为斜截式方程为y=-2x+b,化为一般式方程为bx+ay-8=0.求a,b的值.解析:(1)解法一 由l1:2x+(m+1)y+4=0.l2:mx+3y-2=0.①当m=0时,显然l1与l2不平行.②当m≠0时,l1∥l2,需=≠.解得m=2或m=-3.∴m的值为2或-3.解法二 令2×3=m(m+1),解得m=-3或m=2.当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.同理当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2,∴m的值为2或-3.
(2)由+=1,化得y=-x+b=-2x+b,又可化得:bx+ay-ab=bx+ay-8=0,则=2,且ab=8.解得a=2,b=4或a=-2,b=-4.10.(1)已知三直线l1:2x-4y+7=0,l2:x-2y+5=0,l3:4x+2y-1=0,求证:l1∥l2,l1⊥l3;(2)求过点A(2,2)且分别满足下列条件的直线方程:①与直线2x+y-1=0平行;②与2x+y-1=0垂直.(1)证明:把l1、l2、l3的方程写成斜截式得l1:y=x+;l2:y=x+;l3:y=-2x+,∵k1=k2=,b1=≠=b2,∴l1∥l2.∵k3=-2,∴k1·k3=-1,∴l1⊥l3.(2)解法一:已知直线l:2x+y-1=0的斜率k=-2.①过A(2,2)与l平行的直线方程为y-2=-2(x-2).即2x+y-6=0.②过A与l垂直的直线的斜率k1=-=,方程为y-2=(x-2).即x-2y+2=0为所求.解法二:①设所求直线方程为2x+y+c=0,由(2,2)点在直线上,∴2×2+2+c=0,∴c=-6.
∴所求直线为2x+y-6=0.②设所求直线方程为x-2y+λ=0,由(2,2)点在直线上,∴2-2×2+λ=0,∴λ=2.∴所求直线为x-2y+2=0.1.直线方程的一般式可表示任何一条直线,其中一般式与其他形式的互化是本节重点.直线方程的几种特殊形式都可以化成一般式;反之,一般式能否化为其他几种特殊形式,要看A,B,C是否为零.(1)当B=0时,x=-表示与y轴平行(C≠0)或重合(C=0)的直线;(2)当B≠0时,y=-x-表示斜率为-,在y轴上的截距为-的直线(常用于求斜率);(3)当A=0时,y=-表示与x轴平行(C≠0)或重合(C=0)的直线;(4)当ABC≠0时,+=1表示在x轴、y轴上截距分别为-和-的直线(常用于求截距).2.求直线方程时,若无特殊说明都应化成一般式.