高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程 导学案

3.2.3 直线的一般式方程问题导学一、求直线的一般式方程活动与探究1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是，且经过点A(5,3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；(4)在x，y轴上的截距分别是－3，－1．迁移与应用1．斜率为－3，在x轴上的截距为2的直线的一般式方程是(  )A．3x＋y＋6＝0B．3x－y＋2＝0C．3x＋y－6＝0D．3x－y－2＝02．已知点A(－5,6)和点B(－4,8)，(1)求过A，B的直线的一般式方程．(2)求线段AB的垂直平分线方程．任何一条直线的方程都可化为一般式，因而，在求直线方程时，若未作特别说明，一般应化为一般式．二、一般式与其他式的互化及应用活动与探究2求满足下列条件的直线l的方程：(1)与直线3x＋4y－12＝0平行，且与直线2x＋3y＋6＝0在y轴上的截距相同；(2)与直线x＋2y－1＝0垂直，且与直线x＋2y－4＝0在x轴上的截距相同．迁移与应用1．直线3x＋y＋6＝0的斜率与在y轴上的截距分别为(  )A．3,6B．－3，－6C．－3,6D．3，－62．直线3x－5y－15＝0在x轴和y轴上的截距分别为(  )A．5,3B．－5，－3C．5，－3D．－5,33．经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为__________．由直线的斜截式方程可直接写出直线的斜率及直线在y轴上的截距．因而，如果已知直线的一般式方程，需要其斜率或在y轴上的截距，可将方程化为斜截式．三、直线的一般式方程与平行、垂直活动与探究3(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值．(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？(3)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．迁移与应用1．直线2x－y＋2＝0与直线ax＋2y－5＝0平行，则实数a的值是(  )A．4B．－4C．2D．－22．若直线ax－y＋3＝0与直线ax＋4y－2＝0垂直，则实数a的值为__________．3．经过点A(3,2)，且与直线2x＋3y－16＝0垂直的直线l的方程为__________．(1)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有：①l1与l2平行或重合⇔A1B2－A2B1＝0；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． (2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0．当堂检测1．直线x－y＋1＝0的倾斜角为(  )A．30°B．60°C．120°D．150°2．直线3x－2y－4＝0的截距式方程为(  )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．＋＝13．若直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x－ay＋1＝0平行，则a的值为(  )A．B．或0C．0D．－24．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足__________．5．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝__________．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】预习交流 (1)提示：当B≠0时，由Ax＋By＋C＝0得，y＝－x－，所以该方程表示斜率为－，在y轴上截距为－的直线；当B＝0时，A≠0，由Ax＋By＋C＝0得x＝－，所以该方程表示一条垂直于x轴的直线．(2)提示：在平面直角坐标系内，直线与方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)是一一对应的．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：根据条件，选择恰当的形式写出直线方程，最后化成一般式方程．解：(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式为x－y＋3－5＝0．(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝4x－2，化为一般式为4x－y－2＝0．(3)由两点式方程可知，所求直线方程为＝．化为一般式方程为2x＋y－3＝0． (4)由截距式方程可得，所求直线方程为＋＝1，化成一般式方程为x＋3y＋3＝0．迁移与应用 1．C2．解：(1)2x－y＋16＝0．(2)由(1)知直线AB的斜率为2，所以线段AB的垂直平分线的斜率为－，又线段AB的中点为，所以，线段AB的垂直平分线方程为y－7＝－，即2x＋4y－19＝0．活动与探究2 思路分析：先将第一个方程化为斜截式，根据平行或垂直求出直线l的斜率，再将第二个方程化为截距式，求出所需截距，最后用斜截式或点斜式写出直线方程，并化为一般式．解：(1)由3x＋4y－12＝0，得y＝－x＋3．∵直线l与该直线平行，∴直线l的斜率为－．由2x＋3y＋6＝0，得y＝－x－2．∵直线l与直线2x＋3y＋6＝0在y轴上的截距相同，∴直线l在y轴上的截距为－2．∴直线l的方程为y＝－x－2，即3x＋4y＋8＝0．(2)∵直线l与直线x＋2y－1＝0垂直，∴直线l的斜率为2．由x＋2y－4＝0，得＋＝1．∵直线l与直线x＋2y－4＝0在x轴上的截距相同，∴直线经过点(4,0)．∴直线l的方程为y＝2(x－4)，即2x－y－8＝0．迁移与应用 1．B 2．C3．x－2y＝0活动与探究3 思路分析：利用在一般式方程下，两直线平行或垂直的条件求解．解：(1)由2×3－m(m＋1)＝0，得m＝－3或m＝2．当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2．同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2，∴m的值为2或－3．(2)由直线l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1．故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2．(3)设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0．∵l经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11．∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0．迁移与应用 1．B 2．2或－2 3．3x－2y－5＝0【当堂检测】1．A 2．D 3．A 4．m≠1 5．1