高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程 教案

直线的一般式方程教学目标（1）掌握直线方程的一般式（不同时为）理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于的二元一次方程；②关于的二元一次方程的图形是直线．（2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化．教学重点各种形式之间的互相转化．教学难点理解直线方程的一般式的含义．教学过程一、问题情境1．复习：直线方程的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程．2．问题：（1）点斜式、斜截式、截距式、两点式方程是关于的什么方程（二元一次方程）？（2）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用关于的二元一次方程表示吗？（3）关于的二元一次方程是否一定表示一条直线？二、建构数学1．一般式（1）直线的方程是都是关于的二元一次方程：在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在和两种情况下，直线方程可分别写成及这两种形式，它们又都可变形为的形式，且不同时为，即直线的方程都是关于的二元一次方程．（2）关于的二元一次方程的图形是直线：因为关于的二元一次方程的一般形式为，其中不同时为．在和两种情况下，一次方程可分别化成和，它们分别是直线的斜截式方程和与 轴平行或重合的直线方程，即每一个二元一次方程的图形都是直线．这样我们就建立了直线与关于二元一次方程之间的对应关系．我们把（其中不同时为）叫做直线方程的一般式．一般地，需将所求的直线方程化为一般式．三、数学运用1．例题：例1．已知直线过点，斜率为，求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方程．解：经过点且斜率的直线方程的点斜式，化成一般式，得：，化成截距式，得：．例2．求直线的斜率及轴，轴上的截距，并作图．解：直线的方程可写成，∴直线的斜率；轴上的截距为；当时，，∴轴上的截距为．例3．设直线，根据下列条件分别确定的值：（1）直线在轴上的截距为；（2）直线的斜率为．解：（1）令得，由题知，，解得．（2）∵直线的斜率为，∴，解得．例4．求斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线方程．解：设直线方程为，令，得，∴，∴， 所以，所求直线方程为或．例5．直线过点，且它在轴上的截距是它在轴上的截距相等，求直线的方程．分析：由题意可知，本题宜用截距式来解，但当截距等于零时，也符合题意，此时不能用截距式，应用点斜式来解．解：（1）当截距不为零时，由题意，设直线的方程为，∵直线过点，∴，∴，∴直线的方程为．（2）当截距为零时，则直线过原点，设其方程为，将代入上式，得，所以，∴直线的方程为，即，综合（1）（2）得，所求直线的方程为或．2．练习：课本第79页练习第1、2、4题．四、回顾小结：1．什么是直线的一般式？直线方程的各种形式之间的如何互相转化？五、课外作业：课本第79练习页第3题、第80页第10题、第117页第3、4、5、6题．