高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程 同步练习含答案

直线的一般式方程知识点一直线的一般式方程1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为(  )A．A≠0B．B≠0C．A·B≠0D．A2＋B2≠0答案 D 解析 要使Ax＋By＋C＝0表示直线，需A、B不同时为零(包括一个为0，另一个不为0)，显然A、B项均不满足，C项中表示A与B同时不为零，也不满足，只有D项正确．2．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为(  )A．－2B．2C．－3D．3答案 D解析 由已知得m2－4≠0，且＝1，解得：m＝3或m＝2(舍去).知识点二平行、垂直问题3.直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为(  )A．－12B．－2C．0D．10答案 A解析 由两直线垂直得2m－20＝0，m＝10，将(1，p)代入10x＋4y－2＝0得p＝－2，将(1，－2)代入2x－5y＋n＝0得2＋10＋n＝0，n＝－12.4．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(  )A．过点P且与l垂直的直线B．过点P且与l平行的直线C．不过点P且与l垂直的直线D．不过点P且与l平行的直线答案 D解析 ∵点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，∴Ax0＋By0＋C≠0，∴直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P.又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行．故选D. 知识点三直线一般式方程的应用5.设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：(1)l在x轴上的截距是－3；(2)斜率是1.解 (1)由题意，得由①式，得m≠3且m≠－1.由②式，得3m2－4m－15＝0，得m＝3或m＝－.∴m＝－.(2)由题意，得由③式，得m≠－1且m≠.由④式，得3m2－m－4＝0，得m＝－1或m＝.∴m＝.6．求分别满足下列条件的直线l的一般式方程；(1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A(1,0)，B(m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．解 (1)设直线l的方程为y＝x＋b.令x＝0，得y＝b.令y＝0，得x＝－b，∴＝6，解得b＝±3.∴直线l的方程为y＝x±3，化为一般式为3x－4y±12＝0.(2)当m≠1时，直线l的方程是＝，即y＝·(x－1)；当m＝1时，直线l的方程是x＝1.综上，所求直线l的方程是x－(m－1)y－1＝0或x－1＝0.(3)设l在x轴，y轴上的截距分别为a，b. 当a≠0，b≠0时，l的方程为＋＝1.∵直线过(4，－3)，∴－＝1.又∵|a|＝|b|，∴解得或当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，∴l的方程为y＝－x.综上所述，直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.课堂练习：7．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(  )A．150°B．30°C．60°D．120°答案 A解析 直线的斜率k＝－＝－，故其倾斜角为150°.8．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有(  )A．a＝2，b＝5B．a＝2，b＝－5C．a＝－2，b＝5D．a＝－2，b＝－5答案 B解析 直线5x－2y－10＝0可以化为截距式方程＋＝1，所以a＝2，b＝－5.9．两直线l1：mx－y＋n＝0和l2：nx－y＋m＝0在同一坐标系中，则正确的图形可能是(  )答案 B 解析 化一般式为斜截式，得l1：y＝mx＋n，l2：y＝nx＋m，可见两条直线的斜率、截距恰好互换，所以选B.10．已知直线mx＋ny＝－1平行于直线4x＋3y＋5＝0且在y轴上的截距为，则m、n 的值分别为(  )A．4和3B．－4和3C．－4和－3D．4和－3答案 C 解析 由题意得n≠0，于是直线可化为y＝－x－.由－＝－，－＝，得m＝－4，n＝－3.11．已知直线(a＋2)x＋2ay－1＝0与直线3ax－y＋2＝0垂直，则实数a的值是(  )A．0B．－C．0或－D．－或答案 C解析 当a＝0时，两直线分别为2x－1＝0，－y＋2＝0，此时两直线显然垂直；当a≠0时，两直线的斜率分别为－，3a，所以－·3a＝－1，解得a＝－.故选C.二、填空题12．直线l与直线m：3x－y－2＝0关于x轴对称，则这两条直线与y轴围成的三角形的面积为________．答案 解析 由题意可得直线l：3x＋y－2＝0，则直线l，m与y轴围成的三角形的面积为×4×＝.13．如果对任何实数k，直线(3＋k)x＋(1－2k)y＋1＋5k＝0都过一个定点A，那么点A的坐标是________．答案 (－1,2)解析 解法一：取k＝－3，方程为7y－14＝0，y＝2；取k＝0.5，方程为3.5x＋3.5＝0，x＝－1.所以点A的坐标是(－1,2)；将点A的坐标代入方程得－(3＋k)＋2(1－2k)＋1＋5k＝0，所以直线恒经过点A.解法二：将k当作未知数，则方程可写成(x－2y＋5)k＋3x＋y＋1＝0.因为对于任意k值，等式成立，所以x－2y＋5＝0,3x＋y＋1＝0，解得x＝－1，y＝2，所以点A的坐标是(－1,2)．14．已知直线l与直线3x＋4y －7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为________．答案 3x＋4y±24＝0解析 设l：3x＋4y＋m＝0(m≠－7)，令y＝0得x＝－；令x＝0得y＝－.∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴××＝24，∴m＝±24.∴直线l的方程为3x＋4y±24＝0.三、解答题15．求满足下列条件的直线方程．(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍；(2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.解 (1)因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－x＋，所以直线3x＋8y－1＝0的斜率为－，则所求直线的斜率k＝2×＝－.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线的方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(2)设直线与x轴的交点为(a,0)，因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有4＋＋|a|＝12，解得a＝±3，所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.16．(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？解 (1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知： ①当m＝0时，显然l1与l2不平行．②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.(2)由题意知，直线l1⊥l2.①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即·＝－1，∴a＝－1.综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.对称问题点关于点对称17.若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点(  )A．(0,4)B．(0,2)C．(－2,4)D．(4，－2)答案 B解析 直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．18．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(  )A．4B.C.D.答案 D 解析 由题意知解得∴d＝＝.点关于线对称 19．点P(2,5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是(  )A．(5,2)B．(2，－5)C．(－5，－2)D．(－2，－5)答案 C解析 解法一：设P(2,5)和Q(m，n)关于直线y＝－x对称，则PQ的中点R在直线y＝－x上，且kPQ×(－1)＝－1.∴解得∴对称点Q的坐标是(－5，－2)．20.求点P(－4,2)关于直线l：2x－y＋1＝0的对称点P′的坐标．解 解法一：设点P′(x，y)，由PP′⊥l及PP′的中点在l上得方程组即解得∴P′.解法二：设点P′(x，y)，PP′⊥l于M，∵PP′的方程为(x＋4)＋2(y－2)＝0，即x＋2y＝0，∴解方程组得PP′与l的交点M，由中点坐标公式得得故P′.距离最短问题21．已知A(1,6)，B(5,2)，点P在x轴上，则使|AP|＋|BP|取得最小值时点P的坐标为________．答案 (4.0)解析 ∵A(1,6)关于x轴的对称点为A′(1，－6)，则|PA|＝|PA′|，当P点为A′B与x轴的交点时，|PA|＋|PB|取得最小值，又A′B的方程为＝，即2x－y－8＝0，令y＝0，得x＝4，∴P(4,0)．22.某地A，B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在直线的方程为l：x＋2y－10＝0.若在河边l上建一座供水站P，使分别到A，B两镇的管道之和最省，问供水站P应建在什么地方？解 如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′(异于P )在直线l上，则：|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|，因此供水站只能建在P处，才能使得所用管道最省．设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，即解之得即A′(3,6)．所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0.解方程组得所以点P的坐标为.故供水站P应建在P处．反射问题23．如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(  )A．2B．6C．3D．2答案 A解析 由题意知，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2.故选A.最值问题24.已知M(1,0)，N(－1,0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，则|PM|2＋|PN|2的最小值为________．答案 解析 设P的坐标为(t,2t－1)，则|PM|2＋|PN|2＝(t－1)2＋(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－1)2＝10t2－8t＋4＝102＋≥.