高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程 学案

3.2.3直线的一般式方程疱丁巧解牛知识•巧学直线的一般式方程1.直线和二元一次方程的关系：因为在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角a.（1）当aH90°吋，直线斜率存在，方程可写成y=kx+b,它可变形为kx-y+b二0,与二元一次方程一般形式Ax+By+C二0比较,有A二k,B=-l,C=b.⑵当a=90°时，直线斜率不存在，其方程可写成x二xi,比较有A=l,B=0,C-x】（显然A、B不同时为0）.所以，在平面直角坐标系中，对于任何一条直线有一个表示这条直线的关于x、y的二元一次方程.反过來，二元一次方程的一般形式Ax+By+C二0,①其中A>B不同时为0,arar（1）当BHO时，方程①可化为y-x,它表示斜率为，在y轴上截距为的BBBB直线（斜截式方程）.（2）当B二0时，由于八、B不同时为0,必有AH0,方程①可化为x=--,它表示一条与yA轴平行或重合的直线.所以在平面直角坐标系中，任何关于X、y的二元一次方程都表示一条直线.综上可知，在平面直角坐标系中，直线与关于x、y的二元一次方程是一一对应的.2.我们把关于x、y的二元一次方程Ax+By+C二0（其中A,B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.3.直线的一般式方程与四种特殊形式Z间可以进行相互转化，关系如下：要点提示在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是四种特殊形式，只是最后结果化为一般式.问题・探究 问题1直线方程Ax+By+O0的系数A、B、C满足什么关系吋，这条直线有以下性质？（1）与两条坐标轴相交；（2）只与x轴相交；（3）是y轴所在直线.探究：由直线的一般式方程观察直线图象的特征.若直线与两坐标轴都相交，但直线的斜率存在且不为0,故AH0,BH0.若只与X轴相交，即与X轴垂直，所以直线斜率不存在，则AHO,B二0.若是y轴所在直线,即x二0,所以AHO,B二0,00.问题2—条直线的一般式方程为Ax+By+C二0,如果它的图象通过第二、三、四象限，你能得出系数A、B、C的符号关系吗？探究：因为直线Ax+By+C二0的图象通过第二、三、四象限，所以此直线既不能与坐标轴平行又不能过原点，且其斜率必须为负，在y轴上的截距必小于0,可得A・B・CHO且Ar->0,->o,所以可以判断系数A、B、C必同号.BB典题・热题4例1已知直线经过点A(6,-4),斜率为-一，求直线的点斜式和一般式方程.3思路解析：本题中直线的点斜式方程可直接得到，主要体会由点斜式向一般式的转化过程，把握直线方程的一般式的特点.4解：经过点A(6,-4),斜率为-一的直线的点斜式方程由公式可得34y+4二(X-6),化为一般式可得4x+3yT2二0.3深化升华对于直线方程的一般式，一般作如下约定：X的系数为正，X、y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、含y项、常数项顺序排列.求直线方程的题冃，如无特别要求时，结果写成直线方程的一般式.例2直线ax-6y-12a=0(a^0),在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求a值及直线的斜率.思路解析：先将直线方程化为截距式，由条件求出a值，然后化成斜截式求出斜率.解：TaHO,/.ax-6y-12a=0可化为=1.122a・•・它在x轴和y轴上的截距分别为12和-2&则12=-6a,a=-2.此时直线的方程为x+3y-12=0・化为斜截式为y二一丄x+4.3a=-2,其斜率为一丄.3深化升华直线方程的一般式和特殊形式的互相转化问题.要注意各种形式的特征，并且在求解相关问题时，能根据具体题冃的要求选择恰当的方程形式，尤其在求解直线的方程时，并不一定要设直线的一般式，但在没有特别说明的情况下，最终结果要化为直线的一般式.例3直线kx+y-k二0与射线3x-4y+5=0(xMT)有交点，求k的取值范围.思路解析：直线kx+y-k=O表示过定点的直线系.可以通过数形结合求得k的取值范围.另一种思路是先由两直线方程消去y,求得x用k表示的式子，利用x的取值范围求出k的取值范围.解:由kx+y-k=O,即k(x-l)+y=O,直线系过定点(1,0),斜率kz=-k,由数形结合可以看3131 出1?e(—,4-00)U(-OO,——],所以kW(-8,——)U[—,+8).34444£_54£_11q另解：由两直线方程消去y得x二空」>-1,即竺丄n0=>Jt>-或£v_2.3+4£4R+344深化升华求定点的方法常有两种：一种是分离法；另一种对k赋两个值即可.数形结合和利用一个变数制约另一个变数是求参数范围的常用方法.