第3课时 直线的一般式方程
二元一次方程一条直线
想一想：1.一次函数y＝kx＋b是关于x与y的二元一次方程，但它排除了两种特殊情况的直线方程；这两种特殊情况是什么？提示与坐标轴平行(垂直)的直线不包括在一次函数y＝kx＋b表示的直线内．2．直线x＝a与直线y＝b在x轴与y轴上的截距分别是多少？提示直线x＝a在x轴上的截距是a，在y轴上的截距不存在；直线y＝b在x轴上的截距不存在，在y轴上的截距是b.
2．直线方程的五种形式的比较形式条件方程应用范围特殊形式点斜式一般情况过点(x0，y0)，斜率为ky－y0＝k(x－x0)不含与x轴垂直的直线斜截式在y轴上的截距为b，斜率为ky＝kx＋b不含与x轴垂直的直线
一般式Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)任何情况特殊的直线垂直于x轴且过点(a,0)x＝a，y轴的方程x＝0k不存在垂直于y轴且过点(0，b)y＝b，x轴的方程y＝0k＝0
题型一 求直线的方程【例1】根据下列条件写出直线方程，并化为一般式方程．(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过A(－2，－1)，B(2,2)两点．(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.[思路探索]根据已知条件选择合适的方程形式写出直线方程，再转化为直线的一般式方程．
规律方法(1)直线方程的确定只需要两个量，一点一斜率或两点，确定方程时，要选择合适的形式，且最后结果要转化为直线的一般式方程．(2)所有的直线都可以用一般式表示，它体现了一般式方程的特点，因此，其他形式的直线方程都可以化为一般式方程．
题型二 直线方程的应用【例2】若ab＞0，bc＞0，则直线ax－by－c＝0一定不过第________象限．[思路探索]本题主要考查直线的一般式方程，解题关键是把ab，bc与直线中的斜率、截距联系起来．
【训练2】求证：A(1,5)，B(2,7)，C(－1,1)三点共线．
题型三 直线方程的综合题【例3】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．审题指导本题主要考查直线方程的应用，关键是如何对参数a分类讨论，并理解a的几何意义，可针对a的几何意义是直线的斜率，对a分类或直接运用直线系理论，结合图形解决问题．
【题后反思】针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax＋By＋C＝0进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单明了．
【训练3】设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2＋a＝0，若l经过第一象限，求实数a的取值范围．
方法技巧 过定点的直线系当一条直线过定点P0(x0，y0)时，我们可设直线方程为y－y0＝k(x－x0)．由此方程可知，k取不同的值，它就表示不同的直线，且每一条直线都经过定点P0(x0，y0)，当k取遍所允许的每一个值后，这个方程就表示经过定点P0的许多直线，因此就把这个方程叫做过定点P0的直线系．注意 由于过P0(x0，y0)与x轴垂直的直线不能用方程y－y0＝k(x－x0)表示，因此直线系y－y0＝k(x－x0)，k∈R中没有直线x＝x0.
【示例】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)求证：无论k取何值，直线l恒过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围[思路分析]由共点直线系知，对于含参数的直线方程，随着参数的变化，直线在变化，故直线所过的定点必是直线的交点，故将参数赋值，求出交点，将交点的坐标代入方程，这是一种思路．此外，既然直线所过的定点与参数的取值无关，故可考虑将方程以参数为标准进行整理，利用恒等式，求出定点，这又是一种思路．
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