直线的一般式方程及综合【学习目标】1.掌握直线的一般式方程;2.能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程,并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处;3.能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一:直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线.我们把方程写为Ax+By+C=0,这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式.要点诠释:1.A、B不全为零才能表示一条直线,若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时,方程可变形为,它表示过点,斜率为的直线.当B=0,A≠0时,方程可变形为Ax+C=0,即,它表示一条与x轴垂直的直线.由上可知,关于x、y的二元一次方程,它都表示一条直线.2.在平面直角坐标系中,一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线,反过来,一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程(如斜率为2,在y轴上的截距为1的直线,其方程可以是2x―y+1=0,也可以是,还可以是4x―2y+2=0等.)要点二:直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表:名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式y―y1=k(x―x1)(x1,y1)是直线上一定点,k是斜率不垂直于x轴斜截式y=kx+bk是斜率,b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式(x1,y1),(x2,y2)是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式a是直线在x轴上的非零截距,b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴,且不过原点一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)A、B、C为系数任何位置的直线要点诠释:在直线方程的各种形式中,点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式,要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率,两点式是点斜式的特例,其限制条件更多(x1≠x2,y1≠y2),应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式,即可消除局限性.截距式是两点式的特例,在使用截距式时,首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件.直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式.一般式常化为斜截式与截距式.若一般式化为点斜式,两点式,由于取点不同,得到的方程也不同.要点三:直线方程的综合应用1.已知所求曲线是直线时,用待定系数法求.2.根据题目所给条件,选择适当的直线方程的形式,求出直线方程.对于两直线的平行与垂直,直线方程的形式不同,考虑的方向也不同.
(1)从斜截式考虑已知直线,,;于是与直线平行的直线可以设为;垂直的直线可以设为.(2)从一般式考虑:且或,记忆式()与重合,,,于是与直线平行的直线可以设为;垂直的直线可以设为.【典型例题】类型一:直线的一般式方程例1.根据下列条件分别写出直线方程,并化成一般式:(1)斜率为,且经过点A(5,3);(2)过点B(―3,0),且垂直于x轴;(3)斜率为4,在y轴上的截距为―2;(4)在y轴上的截距为3,且平行于x轴;(5)经过C(―1,5),D(2,―1)两点;(6)在x,y轴上的截距分别是―3,―1.【答案】(1)(2)x+3=0(3)4x―y―2=0(4)y―3=0(5)2x+y―3=0(6)x+3y+3=0【解析】(1)由点斜式方程得,整理得.(2)x=―3,即x+3=0.(3)y=4x―2,即4x―y―2=0.(4)y=3,即y―3=0.(5)由两点式方程得,整理得2x+y―3=0.(6)由截距式方程得,整理得x+3y+3=0.
【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式,以及各种形式向一般式的转化,对于直线方程的一般式,一般作如下约定:x的系数为正,x,y的系数及常数项一般不出现分数,一般按含x项、y项、常数项顺序排列.求直线方程的题目,无特别要求时,结果写成直线方程的一般式.举一反三:【变式1】已知直线经过点A(―5,6)和点B(―4,8),求直线的一般式方程和截距式方程,并画图.【答案】2x-y+16=0【解析】所求直线的一般式方程为2x-y+16=0,截距式方程为.图形如右图所示.【高清课堂:直线的一般式381507例4】例2.的一个顶点为,、的平分线在直线和上,求直线BC的方程.【答案】【解析】由角平分线的性质知,角平分线上的任意一点到角两边的距离相等,所以可得A点关于的平分线的对称点在BC上,B点关于的平分线的对称点也在BC上.写出直线的方程,即为直线BC的方程.例3.已知直线,,求满足下列条件的的值.(1);(2).【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。【答案】(1)a=3(2)【解析】(1)当时,,即,解得a=3.所以,当a=3时,.(2)当时,A1A2+B1B2=a×1+3×(a―2)=0,即4a―6=0,解得.所以,当时,.
【总结升华】当所给直线方程是一般式,且直线斜率可能不存在时,利用A1A2+B1B2=0和A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0来判定两条直线是否垂直和平行,比用斜率来判定更简便,它不需要讨论斜率不存在的情况.举一反三:【高清课堂:直线的一般式381507例1】【变式1】已知直线:3mx+8y+3m-10=0和:x+6my-4=0.问m为何值时:(1)与平行(2)与垂直.【答案】(1)(2)【解析】当时,:8y-10=0;:x-4=0,当时,:;:由,得,由得而无解综上所述(1),与平行.(2),与垂直.【变式2】求经过直线4x+3y―1=0和x+2y+1=0的交点并且与直线x―2y―1=0垂直的直线方程.【思路点拨】联立已知的两直线方程得到方程组,求出两直线的交点坐标,所求的直线过交点坐标,然后由两直线垂直时斜率的乘积等于―1,根据直线x―2y―1=0的斜率即可得到所求直线的斜率,利用点斜式求直线的方程即可.【答案】2x+y―1=0【解析】联立直线方程,①+②×(―4)得:y=―1,把y=―1代入②,解得x=1,所以两直线的交点坐标为(1,―1),又因为直线x―2y―1=0的斜率为,所以所求直线的斜率为―2,则所求直线的方程为:y+1=―2(x―1),即2x+y―1=0.故答案为:2x+y―1=0.【总结升华】此题考查学生会求两直线的交点坐标,掌握两直线垂直时斜率满足的关系,会根据一点坐标和斜率写出直线的方程.类型二:直线与坐标轴形成三角形问题例4.(2016春湖北孝感期末)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围;
(2)若直线l与两坐标轴围成的三角形面积等于2,求实数a的值.【思路点拨】(1)直线l不经过第二象限,得到,解得即可;(2)当x=0时,y=a-2,y=0时,,根据三角形的面积公式得到,解得即可.【答案】(1)a≤―1;(2)a=0或a=8【解析】(1)直线l的方程(a+1)x+y+2―a=0化为y=―(a+1)x+a―2.∵直线l不经过第二象限,∴,解得a≤-1.∴实数a的取值范围是a≤―1,(2)当x=0时,y=a―2,y=0时,,∴,解得a=0或a=8.举一反三:【变式1】求通过点(1,-2),且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线;【答案】x+y+1=0或x-y-3=0【解析】由题设,设所求直线方程为,由已知条件得:解之得:,故所求直线方程为:x+y+1=0或x-y-3=0.类型三:直线方程的实际应用例5.已知光线通过点A(1,2),经过y轴反射,其反射光线通过点B(2,―1)(1)求入射光线所在的直线方程;(2)求反射光线所在的直线方程.【思路点拨】(1)根据题意,求出点A关于y轴的对称点A'坐标,算出直线A'B的斜率并利用点斜式方程列式,得到直线A'B的方程为x+y―1=0,从而令x=0算出入射点C的坐标,求出直线AC方程,即得入射光线所在直线方程;(2)由(1)的求解过程,直线A'B的方程x+y―1=0即为所求反射光线所在直线方程.【答案】(1)x-y+1=0;(2)x+y-1=0【解析】(1)∵光线的反射线是y轴,∴反射线所在直线经过点A关于y轴的对称点A'(―1,2)而直线A'B的斜率,
可得直线A'B的方程为y―2=―(x+1),化简得x+y-1=0在直线A'B中令x=0,得y=1,可得直线A'B交y轴于点C(0,1)∴直线AC的斜率,可得直线AC方程为y=x+1即入射光线所在的直线方程为:y=x+1,即x-y+1=0;(2)由(1)的求解过程,可得直线A'B的方程x+y-1=0即为反射光线所在的直线方程∴反射光线所在的直线方程为x+y-1=0.【总结升华】本题给出光线反射的问题,求入射光线与反射光线所在直线的方程,着重考查了直线的方程和直线的位置关系等知识.举一反三:【变式1】由点发出的光线射到直线上,反射后过点,则反射光线所在直线的一般方程为.【解析】设点P关于直线的对称点,则满足条件,解得所以由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为,即.