第60练 空间直线、平面的垂直考点一 直线与平面垂直的判定与性质1.(2022·河南省名校联考)已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列结论正确的是( )A.α∥β,m∥α,则m∥βB.m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥βC.m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥βD.m⊥α,m∥n,α∥β,则n⊥β答案 D解析 对于A选项,α∥β,m∥α,则m∥β或m⊂β,所以A选项错误;对于B选项,m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β或α和β相交,只有加上条件m与n相交时,才有结论α∥β,所以B选项错误;对于C选项,m⊥n,m⊥α,n∥β,则α∥β或α与β相交,所以C选项错误;对于D选项,m⊥α,m∥n,则n⊥α,又α∥β,则n⊥β,所以D选项正确.2.在三棱锥P-ABC中,已知PA=AB=AC,∠BAC=∠PAC,点D,E分别为棱BC,PC的中点,则下列结论正确的是( )A.DE⊥ADB.DE⊥PAC.DE⊥ABD.DE⊥AC答案 D解析 如图,因为PA=AB=AC,∠BAC=∠PAC,所以△PAC≌△BAC,所以PC=BC,取PB的中点G,连接AG,CG,则PB⊥CG,PB⊥AG,又因为AG∩CG=G,所以PB⊥平面CAG,则PB⊥AC,因为点D,E分别为棱BC,PC的中点,所以DE∥PB,所以DE⊥AC.
3.(多选)(2022·唐山模拟)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是( )答案 BD解析 对于A,易证AB与CE所成角为45°,则直线AB与平面CDE不垂直;对于B,易证AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,则AB⊥平面CDE;对于C,易证AB与CE所成角为60°,则直线AB与平面CDE不垂直;对于D,易证ED⊥平面ABC,则ED⊥AB,同理EC⊥平面ABD,则EC⊥AB,又ED∩EC=E,可得AB⊥平面CDE.考点二 平面与平面垂直的判定与性质4.(2022·大连质检)已知直线l和平面α,β,且l⊂α,则“l⊥β”是“α⊥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由面面垂直的判定定理可得,若l⊂α,l⊥β,则α⊥β,充分性成立;若l⊂α,α⊥β,则l与β平行或相交或垂直,必要性不成立.所以若l⊂α,则“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件.5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段A1B上的动点(不含端点),则下列结论错误的是( )A.平面CBP⊥平面BB1PB.DC1⊥PCC.三棱锥C1-D1PC的体积为定值D.∠APD1的取值范围是答案 D解析 A项,由CB⊥平面BB1P,CB⊂平面CBP,则平面CBP⊥平面BB1P,正确;B项,易知DC1⊥平面BCD1A1,PC⊂平面BCD1A1,可得DC1⊥PC,正确;
C项,由,底面△C1D1C的面积为定值,高BC为定值,故三棱锥的体积为定值,正确;D项,取P为A1B的中点时,不妨设AP=1,则AD1=2,PD1==,可得AP2+PD=AD,则∠APD1=,不正确.6.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案 DM⊥PC(或BM⊥PC)解析 ∵PA⊥底面ABCD,∴BD⊥PA,连接AC(图略),则BD⊥AC,且PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.考点三 垂直关系的综合应用7.(2022·泉州模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的某刍童ABCD-A1B1C1D1中,O1,O分别为上、下底面的中心,O1O⊥平面ABCD,A1B1=A1D1=2,AB=AD=4,侧棱A1A所在直线与直线O1O所成的角为45°,则该刍童ABCD-A1B1C1D1的体积为( )A.28B.C.D.答案 B解析 如图,设四条侧棱延长交于顶点P,连接AO,A1O1,
由题中已知条件可知,在底面矩形ABCD中,AB=AD=4,AO=2,又侧棱A1A所在直线与直线O1O所成的角为45°,再由线面垂直关系知在等腰Rt△POA中,PO=2,同理可得A1O1=,PO1=.又上底面面积S1=4,下底面面积S=16,所以该刍童ABCD-A1B1C1D1的体积=S·PO-S1·PO1=×16×2-×4×=.8.如图,定点A,B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则动点C在平面α内的轨迹是( )A.一条线段,但要去掉两个点B.一个圆,但要去掉两个点C.一段弧,但要去掉两个点D.半圆,但要去掉两个点答案 B解析 如图,连接BC,因为PB⊥α,AC⊂α,所以PB⊥AC,又PC⊥AC,PC∩PB=P,所以AC⊥平面PBC,又CB⊂平面PBC,故CB⊥AC,因为A,B是平面α上的定点,所以点C在α内的轨迹是以AB为直径的圆,又C是α内异于A和B的点,故此轨迹要去掉A,B两个点,所以B正确.9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断中错误的是________.(填序号)
①MN与CC1垂直;②MN与AC垂直;③MN与BD平行;④MN与A1B1平行.答案 ④解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接C1D,如图,因为N是CD1的中点,则N也是C1D的中点,M是BC1的中点,即MN是△BC1D的中位线,于是MN∥BD,③正确;因为四边形ABCD是正方形,即AC⊥BD,则MN⊥AC,②正确;又CC1⊥平面ABCD,而BD⊂平面ABCD,则CC1⊥BD,于是MN⊥CC1,①正确;又因为A1B1∥AB,AB与BD相交,而MN∥BD,所以MN与A1B1不平行,④错误.10.(2022·南昌模拟)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,AA1⊥底面ABCD,AA1=6,AB=8,∠BCD=60°,点M是线段BC上靠近C的四等分点,动点N在四棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面,且MN⊥BD1,则动点N的轨迹长度为________.答案 4+6解析 因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,AA1⊥底面ABCD,所以BB1⊥AC,BD⊥AC,又因为BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BDD1B1,所以BD1⊥AC,故在AB上取点F,使得BF=3FA,连接MF,则MF∥AC,BD1⊥MF,在BB1上取点G,使得BG=2GB1,设MF与BD的交点为O,连接GO,在△D1DB中,DD1=6,BD=8,DD1⊥BD,在△GOB中,GB=BB1=4,OB=BD=3,OB⊥BG,所以△D1DB∽△OBG,故∠D1BD=∠OGB,所以BD1⊥OG,故△MFG的边即为点N的轨迹,
而FG==2,MF=AC=6,MG==2,则动点N的轨迹长度为4+6.11.(多选)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,给出下列四个结论,正确的结论为( )A.DF⊥BCB.BD⊥FCC.平面BDF⊥平面BCFD.平面DCF⊥平面BCF答案 BC解析 对于A项,因为BC∥AD,AD与DF相交但不垂直,所以BC与DF不垂直,则A不成立;对于B项,设点D在平面BCF上的射影为点P,当BP⊥CF时就有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使条件满足,所以B正确;对于C项,当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时,DP⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,所以C正确;对于D项,因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上,所以D不成立.12.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.则在阳马P
-ABCD中,鳖臑的个数为( )A.6B.5C.4D.3答案 B解析 因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD,同理BA⊥平面PAD,故四面体P-ABD和P-BCD都是鳖臑.而DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩CB=C,所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,所以PB⊥DE.又PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体B-DEF,P-DEF和E-BCD的四个面都是直角三角形,即四面体B-DEF,P-DEF和E-BCD都是鳖臑,综上有5个鳖臑.13.在如图所示的三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=,若PA=a,AB=c,PB=10,BC=2,当ac取最大值时,点A到平面PBC的距离为( )A.B.C.5D.5答案 D解析 ∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,又PA=a,AB=c,PB=10,∴a2+c2=102=100≥2ac,∴ac≤50(当且仅当a=c=5时等号成立),∴当ac取最大值时,a=c=5,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,且PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB,设点A到平面PBC的距离为h,由VA-PBC=VP-ABC,
得S△PBC·h=S△ABC·PA,即××10×2×h=××5×2×5,∴h=5,即点A到平面PBC的距离为5.14.如图,平面ABC⊥平面BCDE,四边形BCDE为矩形,BE=2,BC=4,△ABC的面积为2,点P为线段DE上一点,当三棱锥P-ACE的体积为时,=________.答案 解析 如图,过A作AF⊥CB的延长线,垂足为F,∵平面ABC⊥平面BCDE,平面ABC∩平面BCDE=BC,∴AF⊥平面BCDE,由BE=2,BC=4,△ABC的面积为2,得BC·AF=2,∴AF=,在DE上取一点P,连接AP,CP,AD,∵VP-ACE=VA-PCE=××PE×BE×AF=.∴PE=1,∴=.