新高考高考数学一轮复习巩固练习5.5第46练《平面向量小题综合练》（解析版）

第46练　平面向量小题综合练1．已知a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，则(　　)A．c＝a＋2bB．c＝a－2bC．c＝2b－aD．c＝2a－b答案　B2．(2022·成都七中模拟)已知点P是△ABC所在平面内一点，且＋＋＝0，则(　　)A.＝－＋B.＝＋C.＝－－D.＝－答案　D解析　由题意得，＋＋＝0，所以＋(－)＋(－)＝0，∴＋(－)＋(－－)＝0，∴3＋＋－＝0，∴3＝2－，∴＝－.3．向量a与向量b的向量积仍是向量，记作a×b，它的模是|a×b|＝|a||b|sin〈a，b〉，则(a×b)2＋(a·b)2等于(　　)A．a2·b2B．a·bC．a4·b4D．0答案　A解析　(a×b)2＋(a·b)2＝a2·b2sin2〈a，b〉＋a2·b2cos2〈a·b〉＝a2·b2(sin2〈a，b〉＋cos2〈a，b〉)＝a2·b2.4．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1,2)，a－b＝(3,1)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x等于(　　) A．－2B．－4C．－3D．－1答案　D解析　∵a－b＝(3,1)，a＝(1,2)，∴a－(3,1)＝b，解得b＝(－4,2)．∴2a＋b＝(－2,6)．又(2a＋b)∥c，∴－6＝6x，解得x＝－1.5．已知平面向量a，b满足b＝(，1)，|2a－b|＝1，则|a|的取值范围为(　　)A.B．(1,3)C.D．(2,4)答案　C解析　由已知可得|b|＝＝2，∵a＝(2a－b)＋b，∴由三角不等式可得≤|a|≤＋，即≤|a|≤.6．(2022·四川省华蓥中学模拟)在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝2，M是CD的中点．若·＝3，则∠BAD等于(　　)A.B.C.D.答案　B解析　·＝·＝·＋||2＝1×2×cos∠BAD＋×4＝3.∴cos∠BAD＝，∵∠BAD∈(0，π)，∴∠BAD＝. 7．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC＝4，S是平面ABC内一点，则·(＋)的最小值为(　　)A．－4B．4C．6D．－6答案　A解析　如图建立坐标系，则A(0,2)，B(－2，0)，C(2，0)，设S(x，y)，∵＝(－x,2－y)，＋＝(－2－x，－y)＋(2－x，－y)＝(－2x，－2y)，∴·(＋)＝2x2＋2y2－4y＝2x2＋2(y－)2－4≥－4，当且仅当x＝0，y＝时取等号，∴·(＋)的最小值为－4.8．在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，有以下结论：①存在满足条件的△ABC，使得·＝0；②存在满足条件的△ABC，使得∥(＋)．下列说法正确的是(　　)A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立答案　B解析　如图，以D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．不妨设A(2x，2y)(xy≠0)，B(－1,0)，C(1,0)，则D(0,0)，E(x，y)．①＝(－1－2x，－2y)，＝(x－1，y)，若·＝0，则(－1－2x)(x－1)－2y2＝0，∴－(2x＋1)(x－1)＝2y2，满足条件的x，y明显存在，∴①成立；②记AB的中点为F，连接CF，则＋＝2.记CF与AD的交点为G，则G为△ABC的重心，∴G为AD的三等分点．又E为AD的中点，∴与不平行，故②不成立．9．(多选)已知向量a＝(，1)，b＝(t，)，则下列说法正确的是(　　) A．若a∥b，则t＝3B．若a⊥b，则t＝－1C．若a与b的夹角为120°，则t＝0或t＝－3D．若a与b的夹角为锐角，则t>－1答案　AB解析　由a∥b，得×－1×t＝0⇒t＝3，故A正确；由a⊥b，得t＋1×＝0⇒t＝－1，故B正确；当a与b的夹角为120°时，cos120°＝＝－，即t2＋3t＝0，解得t＝0或t＝－3.代入验证t＝0为增根，则t＝0舍去，故t＝－3，故C错误；当a与b的夹角为锐角时，有则解得t>－1且t≠3，故D错误．10．(多选)(2022·淮安模拟)已知P为△ABC所在平面内一点，则下列正确的是(　　)A．若＋3＋2＝0，则点P在△ABC的中位线上B．若＋＋＝0，则P为△ABC的重心C．若·>0，则△ABC为锐角三角形D．若＝＋，则△ABC与△ABP的面积比为3∶2答案　ABD解析　对于A，设AB的中点为D，BC的中点为E，∵＋3＋2＝0，∴＋＝－2(＋)，∴2＝－4，即＝2，∴P，D，E三点共线，又DE为△ABC的中位线，∴点P在△ABC的中位线上，A正确；对于B，设AB的中点为D，由＋＋＝0，得＋＝－＝，又＋＝2， ∴＝2，∴P在中线CD上，且＝2，∴P为△ABC的重心，B正确；对于C，∵·>0，∴与夹角为锐角，即A为锐角，但此时B，C有可能是直角或钝角，故无法说明△ABC为锐角三角形，C错误；对于D，∵＝＋，∴P为线段BC上靠近C的三等分点，即＝，∴S△ABC∶S△ABP＝BC∶BP＝3∶2，D正确．11．(2022·南通模拟)已知m，n均为正数，a＝(1，m)，b＝(2,1－n)，且a∥b，则＋的最小值为________．答案　4解析　因为a＝(1，m)，b＝(2,1－n)，且a∥b，所以2m＝1－n，即2m＋n＝1，因为m，n均为正数，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时取得最小值．12．(2022·武汉模拟)已知△ABC的顶点坐标分别为A(3,4)，B(6,0)，C(－5，－2)，则内角A的角平分线所在直线方程为________________．答案　7x－y－17＝0解析　∵＝(3，－4)，＝(－8，－6)，∴△ABC的内角A的角平分线的方向向量为＝＋＝(3，－4)＋(－8，－6)＝，直线的斜率为7，∴所求直线的方程为y－4＝7(x－3)，即7x－y－17＝0.13．(2022·模拟)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________. 答案　　6解析　由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|·cosθ＝3－2cosθ＝0，解得cosθ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝，则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cosθ＝3＋2×＝6.14．(2020·浙江)已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤，设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是________．答案　解析　设e1＝(1,0)，e2＝(x，y)，则a＝(x＋1，y)，b＝(x＋3，y)．由2e1－e2＝(2－x，－y)，故|2e1－e2|＝≤，得(x－2)2＋y2≤2.又有x2＋y2＝1，得(x－2)2＋1－x2≤2，化简，得4x≥3，即x≥，因此≤x≤1.cos2θ＝2＝2＝2＝＝＝＝－， 当x＝时，cos2θ有最小值，为＝.