新高考高考数学一轮复习巩固练习5.4第45练《平面向量中的综合问题》（解析版）

第45练　平面向量中的综合问题考点一　平面向量在几何中的应用1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)A．外心B．内心C．重心D．垂心答案　B解析　因为，分别是向量，方向上的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又－＝，则原式可化为＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．2．(多选)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是(　　)A．||2＝·B．||2＝·C．||2＝·D．||2＝答案　ABD解析　由·＝||||cosA＝||·||，由射影定理可得||2＝· ，即选项A正确；由·＝||||cosB＝||||，由射影定理可得||2＝·，即选项B正确；由·＝||·||·cos(π－∠ACD)0，即选项C错误；由图可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以||·||＝||||，由选项A，B可得||2＝，即选项D正确．3．(2022·四川模拟)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________.答案　解析　∵M为BC的中点，∴＝(＋)，∴||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2·)＝(1＋9＋2×1×3×cos60°)＝，∴||＝.4．(2022·潍坊模拟)已知点A(2,0)，B(1,2)，C(2，2)，||＝|－|，O为坐标原点，则||＝________，与夹角的取值范围是________．答案　1　解析　由题意可得－＝＝(－1,0)，所以||＝|－|＝||＝1.则点P在以A(2,0)为圆心，1为半径的圆上，如图． 由图可知，与夹角的最小值为0；当直线OP与圆A相切时，与的夹角取到最大值，连接AP，易得∠POA为锐角且sin∠POA＝＝，所以∠POA＝，所以与夹角的取值范围是.考点二　和向量有关的最值(范围)问题5．(2022·佛山模拟)2020年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS(船舶自动识别系统)基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS基站宣告建成．已知风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔(杆)的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如图所示，则|＋＋|的最小值为(　　)A．40B．20C．20D．80答案　A解析　由题意知，＋＋＝0，即＋＝，则＋＋＝，则当风叶旋转到最低点时，||最小，且最小值为60－20＝40.6．(2022·铁岭模拟)已知△ABC的外接圆的半径等于3，AB＝4，则·的取值范围是(　　)A．[－4,24]B．[－8,20]C．[－8,12]D．[－4,20]答案　D 解析　以△ABC外接圆的圆心O为坐标原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图，则A(－2，－)，B(2，－)，设C(3cosθ，3sinθ)，则＝(4,0)，＝(3cosθ＋2,3sinθ＋)，则·＝12cosθ＋8∈[－4,20]．7．(2022·模拟)已知圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段AB为圆C的直径，则|＋|的最小值为(　　)A.B．3C．4D．3答案　B解析　因为C为AB的中点，所以＋＝2，从而|＋|＝|2|＝2||，可知||的最小值为点C到直线y＝x＋3的距离，d＝＝，所以|＋|min＝2×＝3.8．(多选)(2022·珠海模拟)在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ为正实数，则下列结论正确的是(　　)A．λμ的最小值为16B．λμ的最大值为C.＋的最大值为16D.＋的最小值为4答案　BD解析　∵＝λ＋4μ，且P，B，D三点共线， ∴λ＋4μ＝1，∴λμ＝·λ·4μ≤2＝，当且仅当λ＝，μ＝时取等号，∴λμ的最大值为；＋＝(λ＋4μ)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当λ＝，μ＝时取等号，∴＋的最小值为4.9．已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，则a·b的最大值为________．答案　2解析　a·b＝sinθ＋cosθ＝2sin≤2，故a·b的最大值为2.10．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，M是AB边上的动点，则|＋|的最小值为________．答案　3解析　以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，M(0，b)，且0≤b≤a，由于BC＝2，AD＝1.∴C(2,0)，D(1，a)．则＝(2，－b)，＝(1，a－b)，∴＋＝(3，a－2b)．因此|＋|＝，∴当且仅当a＝2b时，|＋|取得最小值3.11．(多选)(2022·苏州市实验中学期中)引入平面向量之间的一种新运算“⊗”如下：对任意的向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，规定m⊗n＝x1x2－y1y2，则对于任意的向量a，b，c，下列说法正确的是(　　)A．a⊗b＝b⊗a B．(λa)⊗b＝λ(a⊗b)C．a·(b⊗c)＝(a⊗b)·cD．|a|·|b|≥|a⊗b|答案　ABD解析　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，A中，因为a⊗b＝x1x2－y1y2，b⊗a＝x2x1－y2y1，所以a⊗b＝b⊗a，故正确；B中，因为(λa)⊗b＝(λx1)x2－(λy1)y2＝λ(x1x2－y1y2)＝λ(a⊗b)，故正确；C中，a·(b⊗c)＝(x2x3－y2y3)a，(a⊗b)·c＝(x1x2－y1y2)c，此时a·(b⊗c)＝(a⊗b)·c不恒成立，故错误；D中，因为(|a|·|b|)2＝(·)2＝xx＋yy＋xy＋xy，|a⊗b|2＝xx＋yy－2x1x2y1y2，所以(|a|·|b|)2－|a⊗b|2＝xy＋xy＋2x1x2y1y2＝(x1y2＋x2y1)2≥0，所以(|a|·|b|)2－|a⊗b|2≥0，且|a|·|b|≥0，|a⊗b|≥0，所以|a|·|b|≥|a⊗b|，故正确．12．(2022·天津河西区模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，若点M在线段BD上，则·的最小值为(　　)A.B．－C．－D.答案　B解析　建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，所以A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，设＝λ，0≤λ≤1，所以M(2－2λ，λ)，所以＝(2－2λ，λ)，＝(1－2λ，λ－1)，所以·＝(2－2λ)(1－2λ)＋λ(λ－1)＝5λ2－7λ＋2＝52－，当λ＝时，·取得最小值为－.13．(2022·月考)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋. (1)求的值；(2)已知A(1，cosx)，B(1＋cosx，cosx)，x∈，f(x)＝·－||.若f(x)的最小值为g(m)，求g(m)的最大值．解　(1)由题意知，A，B，C三点满足＝＋，可得－＝(－)，所以＝＝(＋)，即＝，即＝2，则||＝2||，所以＝2.(2)由题意知，＝(1，cosx)，＝(1＋cosx，cosx)，＝(cosx,0)，所以＝＋＝，所以函数f(x)＝·－||＝1＋cosx＋cos2x－cosx＝(cosx－m)2＋1－m2，因为x∈，所以cosx∈[0,1]，若m1，当cosx＝1时，f(x)取得最小值g(m)＝2－2m，综上所述，g(m)＝可得函数g(m)的最大值为1.14．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且m＝(2cosAcosC，－1)，n＝(tanAtanC－1,1)，m⊥n.(1)求B的大小；(2)若b＝7，sinA＋sinC＝，求△ABC的面积．解　(1)由m⊥n，则m·n＝0，即m·n＝2cosAcosC(tanAtanC－1)－1＝2sinAsinC－2cosAcosC－1 ＝－2cos(A＋C)－1＝2cosB－1＝0，∴cosB＝，又B∈(0，π)，∴B＝.(2)∵＝＝＝＝，∴sinA＝a，sinC＝c，∵sinA＋sinC＝，即a＋c＝，∴a＋c＝13.又∵b2＝a2＋c2－2accosB，即72＝a2＋c2－2accos，∴ac＝40，∴S△ABC＝acsinB＝×40×sin＝10.