新高考高考数学一轮复习巩固练习6.7第54练《数列小题综合练》（解析版）

第54练　数列小题综合练1．(2022·齐齐哈尔模拟)已知等比数列{an}中，4a1，a3,3a2成等差数列，则等于(　　)A．4或－1B．4C．－1D．－4答案　B解析　设等比数列{an}的公比为q，因为4a1，a3，3a2成等差数列，所以4a1＋3a2＝a3，所以4a1＋3a1q＝a1q2，且a1≠0，所以q2－3q－4＝0，解得q＝4或q＝－1，为保证有意义，则q2≠1，所以q＝4，所以＝＝q＝4.2．在数列{an}中，a1＝－2，anan＋1＝an－1，则a2023的值为(　　)A．－2B.C.D.答案　A解析　在数列{an}中，a1＝－2，anan＋1＝an－1，所以an＋1＝1－，当n＝1时，解得a2＝1＋＝，当n＝2时，解得a3＝1－＝，当n＝3时，解得a4＝1－3＝－2，当n＝4时，解得a5＝，故数列an的周期为3，所以a2023＝a3×674＋1＝a1＝－2.3．若数列{an}满足a1＝3，an＝3an－1＋3n(n≥2)，则数列{an}的通项公式an等于(　　) A．2×3nB.C．n·3nD.答案　C解析　由an＝3an－1＋3n(n≥2)，得n＝2时，a2＝3a1＋32＝18，对于A，a1＝2×3＝6≠3，故A错；对于B，a1＝＝3，a2＝＝≠18，故B错；对于C，a1＝1×3＝3，a2＝2×32＝18；对于D，a1＝≠3，故D错．4．(2022·太原模拟)已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论错误的是(　　)A．{an＋Sn}是等差数列B．{an·Sn}是等比数列C．{a}是等差数列D.是等比数列答案　B解析　由{Sn}是等差数列，得2S2＝S1＋S3，即2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，∴a2＝a3，设等比数列{an}的公比为q，∵{an}是各项均为正数的等比数列，则q＝＝1，∴an＝a1>0.对于A选项，an＋Sn＝(n＋1)a1，∴数列{an＋Sn}是等差数列，A正确；对于C选项，a＝a，∴{a}是常数列，且为等差数列，C正确；对于D选项，＝a1>0，∴是等比数列，D正确；对于B选项，anSn＝na，则＝不是常数，∴{an·Sn}不是等比数列，B不正确． 5．(2022·安庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝nan，且S2＋S4＋S6＋…＋S60＝3720，则a1等于(　　)A．8B．6C．4D．2答案　C解析　Sn＝nan，∴Sn＝n(Sn－Sn－1)，n≥2，∴nSn－1＝(n－1)Sn，n≥2，变形得＝，n≥2，∴数列是每项均为S1的常数列，∴＝S1，即Sn＝nS1＝na1，又∵S2＋S4＋S6＋…＋S60＝3720，∴2a1＋4a1＋6a1＋…＋60a1＝(2＋4＋6＋…＋60)a1＝a1＝3720，解得a1＝4.6．(2022·银川模拟)已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列的数记为ai，j，如a3,1＝7，a4,3＝15，则ai，j＝2021时，log2(i＋19)等于(　　)15　37　9　1119　17　15　1321　23　25　27　29……………………………A．54B．18C．9D．6答案　A解析　奇数构成的数阵，令2n－1＝2021，解得n＝1011，故2021是数阵中的第1011个数，第1行到第i行一共有1＋2＋3＋…＋i＝个奇数，则第1行到第44行末一共有＝990个奇数，第1行到第45行末一共有1035个奇数，所以2021位于第45行，又第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数，所以2021位于第45行，从左到右第21列，所以i＝45，j＝21， 则log2(i＋19)＝·log2(45＋19)＝(－3)2·log264＝9×6＝54.7．(2022·泰安模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为，an>0，＋＋…＋＝，当取最小值时，n的值为(　　)A．7B．8C．9D．10答案　B解析　＋＋…＋＝3＝3＝，整理得a＋3a1－18＝0，解得a1＝3或a1＝－6(舍去)，即Sn＝3n＋×＝，则＝＝.当n≤7时，数列单调递减，当n≥8时，数列单调递增，当n＝7时，＝，当n＝8时，＝，故当n＝8时，取最小值．8．(多选)已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9>b9且a10>b10，则以下结论正确的有(　　)A．a9·a10a10C．b10>0D．b9>b10答案　AD解析　数列{an}是首项为a1，公比q为－的等比数列，{bn}是首项为12，公差设为d的等差数列，则a9＝a18，a10＝a19，∴a9·a10＝a17b9且a10>b10，∴b9和b10中至少有一个数是负数，又∵b1＝12，∴db10，故D正确．∴b10一定是负数，即b10SnB．{an＋1}是等比数列C.是单调递增数列D．SnSn，A选项正确；对于B选项，将Sn＋1＝2Sn＋n，Sn＝2Sn－1＋n－1(n≥2)，两式相减得an＋1＝2an＋1，即an＋1＋1＝2(an＋1)(n≥2)，又令n＝1，得S2＝2S1＋1⇒3＋a1＝2a1＋1⇒a1＝2，a2＋1≠2(a1＋1)，所以{an＋1}从第二项开始成等比数列，公比为2，故n≥2时，an＋1＝2n－2(a2＋1)＝2n，即an＝2n－1，所以an＝故B选项错误；对于C选项，因为an＝当n＝1时，S1＝2，当n≥2时，Sn＝2＋(22＋23＋…＋2n)－(n－1)＝－(n－1)＝2n＋1－n－1.所以Sn＝令cn＝＝则n≥2时，cn＋1－cn＝－＝－＝>0，即cn＋1>cn，而c2＝>c1，所以数列单调递增，C选项正确；对于D选项，当n≥2时，Sn－2an＝2n＋1－n－1－(2n＋1－2)＝1－n≤－1，S1