新高考高考数学一轮复习巩固练习5.3第44练《平面向量的数量积》（解析版）

第44练 平面向量的数量积考点一 平面向量数量积的基本运算1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin，则b·(2a－b)等于(  )A．2B．－1C．－6D．－18答案 D解析 由题意知cos〈a，b〉＝sin＝sin＝－sin＝－，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2×＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.2．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为(  )A．3B.C．2D.答案 B解析 设a与b的夹角为θ，∵|a|·cosθ＝b，∴|a|·cosθ＝，∴|a|·cosθ＝，∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×＝.3．(2022·德州模拟)在平行四边形ABCD中，已知＝，＝，||＝，||＝，则·＝________.答案 － 解析 ∵＝，＝，∴＝＋＝＋，＝＋＝＋，而||＝，||＝，∴＝，＝，∴2＋·＋2＝2，2＋·＋2＝6，两式相减得2－2＝－4，∴2－2＝－.∴·＝(＋)·(－)＝2－2＝－.考点二 平面向量数量积的应用4．已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|等于(  )A.B．1C.D．2答案 A解析 由题意得a·b＝|a|×1×＝，又|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，即4|a|2－2|a|＝0，又|a|≠0，解得|a|＝.5．已知|a|＝，|b|＝4，当b⊥(4a－b)时，向量a与b的夹角为(  )A.B.C.D.答案 B解析 根据题意，设向量a与b的夹角为θ，若b⊥(4a－b)，则b·(4a－b)＝4a·b－b2＝16cosθ－16＝0，变形可得cosθ＝，又0≤θ≤π，则θ＝.6．(2022·厦门模拟)向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．若(a＋b)⊥(a－b)，则x等于(  )A．－2B．±C．±2D．2答案 C 解析 方法一 a＋b＝(1＋x,3)，a－b＝(1－x,1)，因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(1＋x)(1－x)＋3＝0，解得x＝±2.方法二 因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以a2－b2＝0，所以|a|＝|b|，所以x＝±2.7．若向量a，b的夹角是，a是单位向量，|b|＝2，c＝2a＋b，则向量c与b的夹角为________．答案 解析 因为向量a，b的夹角是，a是单位向量，|b|＝2，所以a·b＝|a||b|cos＝1×2×cos＝－1.因为c＝2a＋b，所以|c|＝＝＝＝2，c·b＝(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝－2＋4＝2.设向量c与b的夹角为θ，其中θ∈[0，π]，则cosθ＝＝＝，得θ＝.8．已知，，均为单位向量，且满足＋2＋2＝0，则·的值为________．答案 解析 ，，均为单位向量，且满足＋2＋2＝0．故A，B，C三点围成△ABC.设BC的中点为D，连接OA、OB、OC、OD.∵＋2＋2＝0，∴＋4＝0．故A、O、D三点共线，且AO＝4OD.∵OA＝OB＝OC＝1， 故△BOC为等腰三角形．故有OD⊥BC，即AD⊥BC，且OD＝，AD＝1＋＝，∴BD＝＝＝＝DC，∴·＝(＋)·(＋)＝2＋(＋)·＋·＝2＋0－2＝.考点三 平面向量的实际应用9.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重约为(参考数据：重力加速度g＝10m/s2，≈1.732)(  )A．63kgB．69kgC．75kgD．81kg答案 B解析 由题意知，G＝－(F1＋F2)，所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cos60°＋4002＝3×4002，即G＝400N，所以该学生的体重约为40≈40×1.732≈69(kg)．10.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年．如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB＝3，BC＝4，E为AD上一点，BE⊥AC，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(  )A.B.C.D.答案 C解析 以B为原点，以BC，BA所在直线分别为x轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB＝3，BC＝4，所以A(0,3)，B(0，0)，C(4,0)，则＝(4，－3)，设E(a,3)，则＝(a,3)．因为BE⊥AC，所以·＝4a－9＝0，解得a＝.由＝λ＋μ，得＝λ(0,3)＋μ(4,0)，所以解得所以λ＋μ＝.11．(多选)(2022·湖南三校联考)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则(  )A．|a＋b|＝2B．a与b垂直C．a与a－b的夹角为D．|a－b|＝1答案 BC解析 |a＋b|＝＝，故A错误；因为a，b是单位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a与b垂直，故B正确；|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，|a－b|＝，故D错误；cos〈a，a－b〉＝＝＝，所以a与a－b的夹角为，故C正确．12．(多选)(2022·福建模拟)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图①是后天八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则以下结论正确的是(  )A.·＝0 B.·＝－C.＋＝－D．|－|＝答案 ABC解析 正八边形ABCDEFGH被分成8个全等的等腰三角形，不妨取△AOB，则∠AOB＝＝45°，∴∠BOD＝2∠AOB＝90°，即HD⊥BF，∴·＝0，即选项A正确；∵∠AOD＝3∠AOB＝135°，∴·＝1×1×cos135°＝－，即选项B正确；易知＋＝＝－，即选项C正确；连接AF(图略)，∵|－|＝||，在等腰三角形AOF中，OA＝OF＝1，∠AOF＝135°，由余弦定理知，FA2＝OA2＋OF2－2OA·OFcos∠AOF＝1＋1－2×1×1×＝2＋，∴|－|＝||＝，即选项D错误．13．(2022·马鞍山模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，＝λ，＝λ，0≤λ≤1.若·＝－1，则实数λ＝________.答案 解析 由题意得，＝＋＝＋λ，＝＋＝＋λ，因为·＝－1，所以(＋λ)·(＋λ)＝·＋λ·＋λ2＋λ2·＝2×2×cos120°－4λ＋4λ＋λ2×2×2×cos60°＝－1，解得λ＝.14．(2022·嘉兴模拟)已知平面向量a与b的夹角为120°，e为与a同向的单位向量，b在a上的投影向量为－e，且满足(2a＋b)⊥(a－3b)，则|a＋2b|＝________.答案 解析 因为平面向量a与b的夹角为120°，b在a上的投影向量为－e，所以|b|cos120°·e＝－e，所以|b|＝2， 因为(2a＋b)⊥(a－3b)，即(2a＋b)·(a－3b)＝0，即2a2－5a·b－3b2＝0，所以2|a|2＋5|a|－12＝0，解得|a|＝，所以(a＋2b)2＝＋4××2×＋4×4＝，所以|a＋2b|＝.