第47练 复数考点一 复数的概念1．设z＝i3＋，则z的虚部是( )A．－1B．－iC．－2iD．－2答案 D解析 z＝i3＋＝－i＋＝－i＋＝－i－i＝－2i，∴z的虚部为－2.2．(2021·全国乙卷)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z等于( )A．1－2iB．1＋2iC．1＋iD．1－i答案 C解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.3．(2022·牡丹江市第三高级中学月考)i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m＝________.答案 2解析 (1＋mi)(i＋2)＝i＋2＋mi2＋2mi＝2－m＋(2m＋1)i，因为(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，所以解得m＝2.考点二 复数的四则运算4．(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z等于( )A．－1－iB．－1＋iC．－＋iD．－－i答案 B解析 z＝＝＝＝－1＋i.5．(2020·新高考全国Ⅱ)(1＋2i)(2＋i)等于( )
A．－5iB．5iC．－5D．5答案 B解析 (1＋2i)(2＋i)＝2＋i＋4i－2＝5i.6．设复数z＝，f(x)＝x2022＋x2021＋…＋x＋1，则f(z)等于( )A．iB．－iC．1D．－1答案 B解析 ∵z＝＝＝＝－i，∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2022＋(－i)2021＋…＋(－i)＋1.∵(－i)＋(－i)2＋(－i)3＋(－i)4＝－i－1＋i＋1＝0，∴f(z)＝505×0－i－1＋1＝－i.7．(多选)(2022·青岛模拟)已知复数z＝＋i(i为虚数单位)，为z的共轭复数，若复数z0＝，则下列结论正确的是( )A．z0在复平面内对应的点位于第四象限B．|z0|＝1C．z0的实部为D．z0的虚部为答案 ABC解析 ∵z＝＋i，∴z0＝＝＝＝＝＝－i，则z0在复平面内对应的点位于第四象限，故A正确；|z0|＝＝1，故B正确；z0的实部为，故C正确；z0的虚部为－，故D错误．考点三 复数的几何意义
8．z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则复数z对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 A解析 (1＋i)z＝2i(i为虚数单位)，∴z＝＝＝i＋1，则z在复平面内对应的点(1,1)在第一象限．9．(2022·福建模拟)复数z满足|z－2|＝1，则|z|的最大值为________．答案 3解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，∵|z－2|＝1，∴复数z对应的点Z(x，y)在以A(2,0)为圆心，1为半径的圆上运动．由图可知当点Z位于点B(3,0)处时，点Z到原点的距离最大，最大值为3.10．已知复数z1＝在复平面内对应的点为A，复数z2在复平面内对应的点为B，若向量与虚轴垂直，则z2的虚部为________．答案 －解析 z1＝＝＝－i，所以A，设复数z2对应的点B(x0，y0)，则＝，又向量与虚轴垂直，所以y0＋＝0，故z2的虚部y0＝－.11．(多选)已知复数z满足i2k＋1z＝2＋i(k∈Z)，则复数z在复平面内对应的点可能位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 BD
解析 ∵i2k＋1z＝2＋i，∴z＝，∵i1＝i5＝…＝i，i3＝i7＝…＝－i，∴当k为奇数时，z＝＝＝＝－1＋2i，在复平面内对应的点为(－1,2)，位于第二象限；当k为偶数时，z＝＝＝＝1－2i，在复平面内对应的点为(1，－2)，位于第四象限．故复数z在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限．12．(多选)(2022·日照模拟)已知复数z＝1＋cos2θ＋isin2θ(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的是( )A．复数z在复平面内对应的点可能位于第二象限B．z可能是实数C．|z|＝2cosθD.的实部为答案 BCD解析 因为－
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