新高考高考数学一轮复习巩固练习6.2第49练《等差数列》（解析版）

第49练　等差数列考点一　等差数列基本量的运算1．在等差数列{an}中，已知3a1－2a2＝a3－8，则公差d等于(　　)A．1B．2C．－2D．－1答案　B解析　设等差数列{an}的公差为d，因为3a1－2a2＝a3－8，所以3a1－2(a1＋d)＝a1＋2d－8，解得d＝2.2．数列{an}满足am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，a1＝1，a20＋a22＋a24＋…＋a40等于(　　)A．300B．330C．630D．600答案　B解析　数列{an}满足am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，则当m＝1时，则an＋1－an＝1，于是得数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，an＝a1＋(n－1)d＝1＋n－1＝n，从而有a20＋a22＋a24＋…＋a40＝20＋22＋24＋…＋40＝＝330，所以a20＋a22＋a24＋…＋a40＝330.3．已知{an}为递增的等差数列，a3·a4＝15，a2＋a5＝8，若an＝21，则n等于(　　)A．9B．10C．11D．12答案　D解析　因为{an}为等差数列，a2＋a5＝8，所以a3＋a4＝8，由得或(舍)，所以所以an＝2n－3.令2n－3＝21，得n＝12.考点二　等差数列的判定与证明4．(2022·宁夏大学附中模拟)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使子女孝顺的美德外传，则第八个孩子分得斤数为(　　)A．65B．176C．183D．184答案　D 解析　根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，解得a1＝65.由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.则第八个孩子分得斤数为184.5．(多选)(2022·模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则(　　)A．an＝－B．an＝C．数列为等差数列D.＋＋…＋＝－5050答案　BCD解析　Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，整理得－＝－1(常数)，所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确；所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－(首项不符合通项)，故an＝故B正确，A错误；所以＋＋…＋＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5050，故D正确．6．(2022·河北衡水中学模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝an2＋bn(a，b为常数)，且a9＝，则a1＋a17＝________；设函数f(x)＝2＋sin2x－2sin2，yn＝f(an)，则数列{yn}的前17项和为________． 答案　π　17解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－＝2na－a＋b.又当n＝1时，a1＝S1＝a＋b，满足an＝2na－a＋b，所以an＝2na－a＋b，所以数列{an}为等差数列，故a1＋a17＝2a9＝π.由题意得f(x)＝sin2x＋cosx＋1，所以y1＋y17＝f(a1)＋f(a17)＝sin2a1＋cosa1＋1＋sin2a17＋cosa17＋1＝sin2a1＋cosa1＋1＋sin(2π－2a1)＋cos(π－a1)＋1＝2，同理，y2＋y16＝2，…，y8＋y10＝2.又易得y9＝f(a9)＝1，所以数列{yn}的前17项和为2×8＋1＝17.考点三　等差数列的性质7．(2022·黑龙江实验中学模拟)等差数列{an}的前15项和S15＝30，则a7＋a8＋a9等于(　　)A．－2B．6C．10D．14答案　B解析　等差数列{an}的前15项和S15＝30，∴S15＝(a1＋a15)＝15a8＝30，解得a8＝2，∴a7＋a8＋a9＝3a8＝6.8．(2022·曲靖模拟)在等差数列{an}中，若a5＋a6＋a8＋a9＝400，则数列{an}的前13项和S13等于(　　)A．5200B．2600C．1500D．1300答案　D解析　根据等差数列性质可得a5＋a6＋a8＋a9＝2(a6＋a8)＝400，所以a6＋a8＝200，所以前13项和S13＝＝＝＝1300.9．(2022·黑龙江铁人中学模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，其中S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　)A．9B．18C．27D．36答案　D解析　根据等差数列的性质，S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，所以3,12，S6－15成等差数列，进而得到3＋S6－15＝24，所以S6＝36.10．(2022·模拟)设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lgan }与{lgbn}的前n项和，且＝，则loga3b3等于(　　)A.B.C.D.答案　D解析　设正项等比数列{an}的公比为q，正项等比数列{bn}的公比为p，则数列{lgan}为等差数列，公差为lgq，{lgbn}为等差数列，公差为lgp，所以Sn＝nlga1＋lgq，Tn＝nlgb1＋lgp，又＝＝，所以logb3a3＝＝＝＝＝，所以loga3b3＝.11．(多选)设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的有(　　)A．当n＝15时，Sn取最大值B．当n＝30时，Sn＝0C．当d>0时，a10＋a22>0D．当d|a22|答案　BC解析　因为S10＝S20，所以10a1＋d＝20a1＋d，解得a1＝－d.因为无法确定a1和d的正负性，所以无法确定Sn是否有最大值，故A错误；S30＝30a1＋d＝30×＋15×29d＝0，故B正确；d>0时，a10＋a22＝2a16＝2(a1＋15d)＝2＝d>0，故C正确；a10＝a1＋9d＝－d＋d＝－d，a22＝a1＋21d＝－d＋d＝d，因为d