新高考高考数学一轮复习巩固练习6.3第50练《等比数列》(解析版)
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新高考高考数学一轮复习巩固练习6.3第50练《等比数列》(解析版)

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资料简介
第50练 等比数列考点一 等比数列基本量的运算1.(2022·呼和浩特模拟)在等比数列{an}中,a1+a3=9,a5+a7=36,则a1等于(  )A.0B.1C.2D.3答案 D解析 在等比数列{an}中,a1+a3=9,a5+a7=36,∴q4===4,解得q2=2,∴a1+a3=3a1=9,解得a1=3.2.(2022·重庆模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,a2=-8,a7=,则S6等于(  )A.-B.C.D.答案 C解析 设等比数列{an}公比为q,则a7=a2q5,又a2=-8,a7=,∴q=-,故a1=16,又Sn=,即S6===.3.已知数列{an}是等比数列,则“a2,a6是方程x2-6x+3=0的两根”是“a4=-”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D解析 因为a2,a6是方程x2-6x+3=0的两根,所以a2+a6=6,a2·a6=3,得a=3,又a4=a2q2>0,所以a4=,所以“a2,a6是方程x2-6x+3=0的两根”是“a4=-”的既不充分也不必要条件.考点二 等比数列的判定与证明 4.(2022·长沙模拟)若数列{an}满足an+1=3an+2,则称{an}为“梦想数列”,已知正项数列为“梦想数列”,且b1=2,则b4等于(  )A.B.C.D.答案 B解析 若为“梦想数列”,则有-1=3+2,即-1=-1,即=,且b1=2,所以数列{bn}为以2为首项,以为公比的等比数列,则b4=2×3=.5.(2022·沈阳模拟)5G是第五代移动通信技术的简称,其意义在于万物互联,即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中,它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信,将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化.目前我国最高的5G基站海拔6500米.从全国范围看,中国5G发展进入了全面加速阶段,基站建设进度超过预期.现有8个工程队共承建10万个基站,从第二个工程队开始,每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少,则第一个工程队承建的基站数(单位:万)约为(  )A.B.C.D.答案 B解析 设每个工程队承建的基站数构成数列{an},则由题意可得an=an-1=an-1(n≥2,n∈N*),故{an}是以为公比的等比数列, 可得S8==10,解得a1=.6.(多选)若数列{an}对任意的n≥2(n∈N)满足(an-an-1-2)(an-2an-1)=0,则下面选项中关于数列{an}的命题正确的是(  )A.{an}可以是等差数列B.{an}可以是等比数列C.{an}可以既是等差又是等比数列D.{an}可以既不是等差又不是等比数列答案 ABD解析 因为(an-an-1-2)(an-2an-1)=0,所以an-an-1-2=0或an-2an-1=0,即an-an-1=2或an=2an-1.①当an≠0,an-1≠0时,{an}可以是等差数列或等比数列;②当an=0或an-1=0时,{an}可以既不是等差又不是等比数列.考点三 等比数列的性质7.(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8等于(  )A.12B.24C.30D.32答案 D解析 设等比数列{an}的公比为q,则q===2,所以a6+a7+a8=(a1+a2+a3)·q5=1×25=32.8.(2022·模拟)已知{an}是等比数列,Sn是其前n项积,若=32,则S9等于(  )A.1024B.512C.256D.128答案 B解析 =a3a4a5a6a7=(a5)5=32,则a5=2,则S9=a1a2a3a4a5a6a7a8a9=(a5)9=512.9.(2022·苏州第十中学模拟)已知等比数列{an}的首项为1,公比为2,则a+a+…+a等于(  )A.(2n-1)2B.(2n-1)C.4n-1D.(4n-1) 答案 D解析 由等比数列的定义,得an=1·2n-1=2n-1,故bn=a=22n-2=4n-1,由于==4,b1=1≠0,故{bn}是以1为首项,4为公比的等比数列,故a+a+…+a==.10.(2021·太原模拟)在等比数列{an}中,a2a6+a5a11=16,则a3a9的最大值是(  )A.4B.8C.16D.32答案 B解析 由等比数列性质知,a3a9=a4a8,∵a2a6+a5a11=a+a=16≥2a4a8(当且仅当a4=a8时取等号),∴a4a8≤8,∴a3a9≤8,即a3a9的最大值为8.11.(多选)(2022·安徽池州一中模拟)已知数列{an}为等比数列,下列结论正确的是(  )A.a1a8=a2a7B.若a2=4,a6=16,则a4=±8C.当a5>0时,a3+a7≥2a5D.当a3a4+a6答案 AC解析 设等比数列{an}的公比为q,对于A,a1a8=a1·a1q7=aq7,a2a7=a1q×a1q6=aq7,所以a1a8=a2a7,故A正确;对于B,由题意a4=a2q2=4q2>0,所以a4=±8不正确,所以B不正确;对于C,a3+a7-2a5=+a5q2-2a5=a5≥a5=0,当且仅当q2=1时,取得等号,故C正确;对于D,当q=1时,a7=a3=a4=a6,则a3+a7=a4+a6,故D不正确.12.(2022·银川模拟)已知各项都为正数的数列{an},Sn是其前n项和,满足a1=,a-(2an+1-1)an-2an+1=0,则=________. 答案 2n-1解析 因为a-(2an+1-1)an-2an+1=0,所以an(an+1)-2an+1(an+1)=0,即(an+1)(an-2an+1)=0,而an>0,则an+1>0,故an-2an+1=0,即=(n∈N*),故数列{an}是等比数列,首项为a1=,公比为,则an=n,Sn==1-n,故===2n-1.13.已知等比数列{an}的各项均为正数,a5≥,且存在m∈N*,使得am+2+=1,则a1的最小值为________.答案 4解析 设等比数列{an}的公比为q,q>0,因为an>0,m∈N*,所以由基本不等式得,1=am+2+≥2=2=2q,所以q≤,当且仅当am+2=,即am+1=时等号成立.则≤a5=a1q4≤4a1=,所以a1≥4,即a1的最小值为4.14.已知数列{an}满足a1=1,anan+1=2n(n∈N*),则S2024=________.答案 3(21012-1)解析 因为数列{an}满足a1=1,anan+1=2n(n∈N*),当n=1时,a2=2,当n≥2时,anan-1=2n-1,则=2,所以数列{an}的奇数项是以1为首项,以2为公比的等比数列,数列{an}的偶数项是以2为首项,以2为公比的等比数列, 所以S2024=+,=21012-1+2×21012-2=3×21012-3=3(21012-1).

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